Dubbio su primo teorema di Konig per corpi rigidi

[MichR]

Buongiorno a tutti. Mi sto preparando per l'esame di Fisica 1 e avrei dei dubbi circa il primo teorema di Konig applicato ai corpi rigidi. Premetto che oggetto del nostro corso sono stati i corpi rigidi con asse di rotazione costante in direzione. Ci siamo dunque limitati a considerare il momento d'inerzia di tali corpi (e non altre grandezze più avanzate).

In particolare, non sono sicuro che nella formula del teorema \(\displaystyle \vec{L}=\vec{L}_{(CM)}+\vec{L}' \), il momento angolare calcolato con polo nel CM relativamente al CM sia uguale a \(\displaystyle \vec{L}'=I_{CM}\cdot\vec{\omega} \).

In effetti, in classe ci è stato detto che, se poniamo l'asse z parallelo al vettore \(\displaystyle \vec{\omega} \), solo la componente z del vettore momento angolare, calcolato rispetto a un polo solidale all'asse di rotazione, è uguale a \(\displaystyle \vec{L}_z=I_z\cdot\vec{\omega} \) (dove \(\displaystyle I_z \) è il momento d'inerzia calcolato relativamente all'asse di rotazione z.

Allora quand'è che posso dire che \(\displaystyle \vec{L}'=I_{CM}\cdot\vec{\omega} \)? Sul mio libro (Fisica 1 - Focardi, Uguzzoni, Massa) leggo che tale affermazione è vera quando l'asse di rotazione coincide con l'asse di simmetria, geometrica e di massa, del corpo. Pertanto in tale caso il teorema dovrebbe essere applicabile.
Mi sono chiesto se fosse possibile applicarlo in altre situazioni (di fatto in classe lo abbiamo usato anche quando l'asse di rotazione non coincideva con quello di simmetria). Ho allora provato a scrivere la formula del teorema per un sistema discreto e usando la cinematica dei corpi rigidi ottengo (se non ho sbagliato i conti), per quest'ultimo vettore: \(\displaystyle \vec{L}'= \sum_i m_i\cdot(\vec{\omega} \ r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{\omega} \cdot \vec{r}_i') \) (indicato con \(\displaystyle \vec{r}_i' \) il vettore posizione dell'i-esimo punto dal CM, \(\displaystyle \cdot \) il prodotto scalare). L'ultimo termine \(\displaystyle -\vec{r}_i'(\vec{\omega} \cdot \vec{r}_i') \) si annulla se \(\displaystyle \vec{\omega} \perp \vec{r}_i' \): questo può accadere quando il corpo rigido è sottile: ad esempio, presa un asta sottile, se essa ruota con asse perpendicolare a se stessa e non per forza coincidente con il suo asse di simmetria.

In sintesi, vorrei avere la conferma che il suddetto teorema si possa applicare nei seguenti casi:
- l'asse di rotazione coincide con quello di simmetria
- il corpo è sottile e l'asse di rotazione è perpendicolare ad esso

Vorrei infine fare un'ultima richiesta: nel secondo teorema di Konig, l'energia cinetica percepita da CM vale sempre \(\displaystyle K'=\frac{1}{2} I_{CM}\omega^2 \)? Questo dovrebbe essere vero in quanto sostituendo con le relazioni cinematiche del corpo rigido si ottiene subito l'uguaglianza.

Vi ringrazio in anticipo e spero possiate risolvere i miei dubbi

[Vulplasir]

La questione del momento angolare non è semplice, però direi che quello che dici è giusto.

Per qualsiasi corpo rigido di qualsiasi forma bizzarra, si può dimostrare che esistono almeno 3 direzioni tra loro ortogonali, dette direzioni o assi principali d'inerzia, tali che se il corpo ruota attorno a una di queste, il momento angolare è parallelo a $omega$, in tutti gli altri casi il momento angolare non sarà parallelo a $omega$.

Una condizione sufficiente affinchè un certo asse sia principale d'inerzia è che tale asse sia un asse di simmetria materiale del corpo.

Se il corpo rigido è piano, si può dimostrare che qualsiasi asse ortogonale al piano del corpo è asse principale.

Nel caso dell'asta, che è un corpo rigido unidimensionale, qualsiasi asse ortogonale all'asta è asse principale.

Per quanto riguarda l'altra domanda la risposta è si.

[MichR]

Grazie mille per il tuo commento! Ora tutto ha più senso: in un esercizio fatto in classe in cui il sistema era un asta rigida sottile avevamo utilizzato il primo teorema di Konig, senza però entrare nel dettaglio sul perché potevamo utilizzarlo.