problema di calcolo- quantistica

[Nattramn16]

Ciao a tutti.
Ho un problema nel capire come svolgere i seguenti conti in un problema di fisica quantistica.
Dunque,
si consideri lo stato
$ |\psi> = 1/2(|+>_1 \ox |+>_2)+1/2(|+>_1 \ox |- >_2)+1/\sqrt(2)(|- >_1 \ox |- >_2) $
dove
$ |+-> = \frac{|+> +- |- >}{\sqrt(2)} $

a) qual è la probabilità di ottenere $ \sigma_z=1 $ dalla misura della polarizzazione lungo $ z $ per la prima particella
Per svolgere questo punto ho considerato:
$ p=|<\psi|P_0|\psi>|^2 $ con
$ P_0=|0>_1<0| $ il proiettore.
Ecco.. qui però ora un problema nel capire come fare il conto esplicito... qualcuno potrebbe aiutarmi? Non capisco bene come procedere.
Io sono partita così:
$ <\psi|0>_1<0|\psi> $ e poi ho considerato separatamente i due pezzi:
$ <\psi|0>_1=[1/2<++|0>_1+1/2<+ -|0>_1+1/\sqrt(2)<--|0>_1] $ e poi quindi analogamente ho considerato l'altra parte, facendo diventare i ket dei bra. Successivamente come procedo?
Mi verrebbe fuori delle robe tipo
$ <++|0|++> $
che non capisco quanto posano essere giuste, e se lo sono non capisco come calcolarle

Secondo problema di calcolo:

nel punto c) mi chiede
Se misuro simultaneamente $ (\sigma_z)_1 $ e $ (\sigma_z)_2 $ per due particelle descritte dallo stato $ |\psi> $ , qual è la probabilità di ottenere $ (\sigma_z)_1=(\sigma_z)_2=1 $?

Per fare questo ho considerato lo stato $ |\psi> $ scritto sopra, ma in maniera più compatta e ho esplicitato i vari $ |+-> $ come mi è stato indicato dalla traccia del problema.
successivamente ho considerato:
$ p_00(\sigma_z1=\sigma_z2=1)=|<00|\psi>|^2 $ e poi quindi, data
$ |\psi>=(2/4+1/(2\sqrt(2)))|00>+(2/4-1/(2\sqrt(2)))|10>+(1/(2\sqrt(2)))|01>+(1/(2\sqrt(2)))|11> $
come devo fare per calcolare la probabilità esplicitamente?

Se qualcuno ha voglia di darmi una mano ne sarei felicissima!
Grazie

[v3ct0r]

Ok, peró manca qualche info. I due ket $|+>$ e $|- >$ sono autostati di... quale componente dello spin?
L'espressione di $|+->$ non ha molto senso, a meno che gli spinori al primo e secondo membro non siano riferiti a componenti diverse. E poi, il ket $|0>$ cosa rappresenta?

Comunque, ad occhio direi che qui le probabilità si possono trovare semplicemente guardando i coefficienti, senza fare troppi conti. Se poi ci tieni a capire come funziona il proiettore facciamo anche quello, non c'è problema. A proposito, ti anticipo che se calcoli la probabilità come valor medio del proiettore non devi fare anche il modulo quadro, altrimenti lo fai due volte, perché è già "contenuto" nel valore di aspettazione.

ps: ho un esame tra un paio di giorni, perciò potrei non essere molto attivo sul forum. Insomma se sparisco non disperare, mi farò vivo in settimana, appena possibile

[v3ct0r]

pps: ho visto che hai aperto anche un altro thread di MQ. Se intanto non ti risponde nessun altro, appena mi libero arrivo anche lì

[Nattramn16]

Io devo capire bene come cavolo fare sti conti, dopo un po' che ci sclera su faccio la domanda in cerca di aiuto ahaha.
comunque non preoccuparti, anzi.. gentilissimo.
grazie infinite

[Nattramn16]

Dunque..
Rispondo in ordine alle tue domande:
I due ket sono autostati della matrice $ \sigma_x $ .

I ket $ |0> $ e $ |1> $ sono i vettori della base canonica (quindi (1,0) e (0,1)).

La notazione $ |+-> $ significa che $ |+> = (|0>+|1>)/\sqrt(2) $ e $ |-> = (|0> -|1>)/\sqrt(2) $ .

Quindi dovrei scrivere
$ p=<\psi|P_0|\psi> $
Ad ogni modo se riuscissi a scrivermi il conto esplicito e anche il metodo ''ad occhio'' mi farebbe piacere

[v3ct0r]

Ok, con le precisazioni che hai aggiunto direi che ci siamo.

$a)$

Il conto l'hai impostato, devi solo svolgerlo.

$< psi | 0 >_1$ $= 1/2 <+ | 0>_1 < + |_2 + 1/2 <+ | 0>_1 <- |_2 + 1/sqrt(2) < - | 0>_1 < - |_2$

Ora
$< + | 0 >_1 = ((1/sqrt(2),1/sqrt(2))) ((1), (0)) = 1/sqrt(2)$
$< - | 0 >_1 = ((1/sqrt(2),{-1}/sqrt(2))) ((1), (0)) = 1/sqrt(2)$

Quindi

$< psi | 0 >_1$ $= 1/{2sqrt(2)}$ $< + |_2$ $+ 1/{2sqrt(2)}$ $< - |_2$ $+ 1/2 < - |_2 = (1/2 + 1/{2sqrt{2}} , {-1}/{2sqrt(2)}) $

e perciò $p = < psi |P_0| psi > = < psi | 0 >< 0 | psi > = |< psi | 0 >|^2 = 1/2 + 1/{2sqrt(2)}$

$c)$

Il metodo che ti fa usare il libro è essenzialmente il metodo "ad occhio" di cui ti parlavo. Hai riscritto la $|psi>$ come combinazione di autostati di $sigma_z$, ognuno dei quali ha davanti un coefficiente. Questo coefficiente, come saprai, ti dice "in che misura" un certo autostato è presente nella sovrapposizione. Più precisamente, il modulo quadro del coefficiente è la probabilità che, a seguito di una misura, il sistema collassi nel corrispondente autostato.

Verifichiamolo. Nel punto $a)$ abbiamo calcolato la probabilità di ottenere $1$ da una misura di $sigma_z$ per la prima particella. Ora, vediamo che gli autostati in grado di fornire questo valore sono $|00>$ e $|01>$ (cioè sono gli autostati che hanno la prima particella nello stato $|0>$, a cui corrisponde l'autovalore $1$).
I coefficienti davanti a questi due autostati sono $(1/2 + 1/{2sqrt(2)})$ e $-1/{2sqrt(2)}$.
La probabilità che $|psi>$ collassi in $|00>$ è quindi $(1/2 + 1/{2sqrt(2)})^2$, mentre per $|01>$ la probabilità è $(1/{2sqrt(2)})^2$.
Sommandole, vedi che ottieni lo stesso risultato di prima.

La probabilità che una misura dia $sigma_{z1} = sigma_{z2} = 1$ è uguale alla probabilità che il sistema collassi nell'autostato $|00>$. Lascio a te il calcolo.

Ho sonno, perciò potrei aver scritto scemenze. Se qualcosa ti sembra sbagliato, probabilmente lo è

[Nattramn16]

Grazie mille Alla fine ero riuscita comunque a capire come fare il conto che se l'ho fatto in modo diverso dal tuo.
Comunque ora lo sguardo e mi segno anche quello

[v3ct0r]

Ok, mi sono appena accorto che tutti i ket che ho scritto per la seconda particella dovevano essere dei bra.
Come dicevo, dopo mezzanotte il mio livello di attenzione cala drasticamente. Comunque ho corretto, ora dovrebbe essere a posto.

[Nattramn16]

ahah nessun problema! Grazie mille