Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda milzar » 19/06/2017, 16:55

Ciao a tutti.

Sappiamo che il raggio di curvatura è il raggio del cerchio osculatore, ossia di quel cerchio che approssima meglio la curvatura esistente in un determinato punto di una curva.

Io vorrei sapere se è possibile calcolare il raggio di curvatura non relativo ad un punto specifico dell'ellisse, ma relativo alla ellisse nel suo complesso, ossia se esiste una specifica formula che consenta di determinare il raggio del cerchio osculatore che meglio approssima la curvatura dell'intera ellisse, ovviamente conoscendo asse minore, asse maggiore ed eccentricità dell'ellisse.
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda mgrau » 19/06/2017, 17:29

milzar ha scritto:Io vorrei sapere se è possibile calcolare il raggio di curvatura non relativo ad un punto specifico dell'ellisse, ma relativo alla ellisse nel suo complesso, ossia se esiste una specifica formula che consenta di determinare il raggio del cerchio osculatore che meglio approssima la curvatura dell'intera ellisse


Non esiste una "curvatura dell'intera ellisse": la curvatura cambia da un punto all'altro.
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda Vulplasir » 19/06/2017, 17:32

La curvatura è una proprietà locale di una curva, non globale
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda milzar » 19/06/2017, 17:35

Non si può creare una sorta di curvatura media?

Cioè calcolo la curvatura massima (estremità dell'asse maggiore), la curvatura minima (l'estremità dell'asse minore), e faccio la media?
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda mgrau » 19/06/2017, 17:39

Sicuramente si potrà trovare una curvatura media, ma non credo che sia così semplice come la metti tu; almeno, se vuoi fare una media pesata, cioè contare ogni valore per quanto è rappresentato nell'insieme: così a pelle, direi che i punti a curvatura bassa sono di più di quelli a curvatura alta
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda milzar » 19/06/2017, 17:44

Allora il problema è questo.

Se una pallina percorre, su di un piano senza attrito, un percorso guidato di forma ellittica, come posso calcolare l'accelerazione centripeta?

La formula dell'accelerazione centripeta, infatti, è ac = V2/r, dove però r è il raggio della circonferenza, ma questa non è una circonferenza.

Va bene uguale se come valore di r metto il semiasse maggiore?

C'è un post di navigatore di qualche anno fa che dice che, in un caso come questo, si deve mettere come r il raggio di curvatura esistente in un determinato punto della curva per avere l'accelerazione centripeta, ma a me serve l'accelerazione centripeta media subita dalla pallina durate la sua traiettoria ellittica.

causa-moto-circolare-t108677.html
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda Vulplasir » 19/06/2017, 18:40

Chiaramente puoi definire una curvatura media come ti pare, ciò non significa che essa risponda al problema che chiedi, ossia al calcolo dell'accelerazione centripeta media.

L'accelerazione centripeta di un punto materiale a velocità $vecv$ che si trova in un punto della sua traiettoria con raggio di curvatura $r$ è pari a $veca_c=v^2/rvecN$. dove $vecN$ è un versore ortogonale alla tangente alla traiettoria in quel punto e diretto verso il centro di curvatura, ossia il centro della circonferenza osculatrice in quel punto.

E' chiaro che se vuoi calcolare l'accelerazione centripeta media devi prima definire cosa intendi per accelerazione centripeta media, e non mi pare che sia un concetto che abbia molto senso
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda milzar » 19/06/2017, 19:00

Potrà sembrarti strano, ma a me serve l'accelerazione centripeta media.

A tal fine avrebbe senso calcolare l'accelerazione centripeta nel punto di massima curvatura (estremi dell'asse maggiore), poi l'accelerazione centripeta nel punto di minima curvatura (estremi dell'asse minore), ovviamente in entrambi i casi col metodo del cerchio osculatore, e poi fare la media tra i due valori?
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda Vulplasir » 19/06/2017, 19:22

Avrebbe senso qualsiasi cosa per calcolare "l'accelerazione centripeta media", perché è un concetto che non esiste da nessuna parte e che mi pare non abbia alcun significato. La velocità media si calcola come la differenza tra il vettore posizione finale e quello iniziale fratto il tempo, l'accelerazione media si calcola come la velocità vettoriale finale meno quella iniziale fratto il tempo...l'accelerazione centripeta media sinceramente non vedo quale significato possa avere, e forse non ce l'ha e si tratta di un errore del testo o di chi ti ha proposto il problema.
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Re: Raggio di curvatura dell'ellisse

Messaggioda milzar » 19/06/2017, 19:36

È una questione di approssimazione.

Potrebbe avere più senso parlare di raggio di curvatura medio? Inteso cioè come la media tra il raggio del cerchio osculatore nel punto di curvatura massima e raggio del cerchio osculatore nel punto di curvatura minima?
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