Considera un'ellisse di asse maggiore $2a$ , disposto sull'asse $x$ , e asse minore $2b$ disposto sull'asse $y$ , come normalmente si fa nella rappresentazione canonica. L'equazione canonica dell'ellisse ti è nota, suppongo.
Con centro nell'origine, traccia due circonferenze concentriche, di raggi risp. $a$ e $b$ . Traccia poi una semiretta uscente da $O$ , che incontra la circonferenza di raggio $b$ nel punto $C$ ,e la circonferenza di raggio $a$ nel punto $B$ (vedi figura seguente)
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L'angolo che la semiretta forma con l'asse $x$ si chiama "angolo di eccentricità" $t$ . In funzione di questo angolo , si possono esprimere le coordinate del punto $P$ :
$x = a cost $
$y = bsent $
e queste non sono altro che le equazioni parametriche dell'ellisse, con parametro $t$ . Nota esplicitamente che l'angolo $t$ non è uguale all'angolo polare $\theta$ .
Il raggio di curvatura $R$ , nel punto $P$ generico , si trova coi metodi della geometria differenziale , e risulta , in funzione del parametro $t$ :
$R = ((a^2sen^2t + b^2cos^2t)^(3/2) )/(ab) $
i raggi di curvatura minimo e massimo si hanno ovviamente in corrispondenza degli estremi dei semiassi dell'ellisse , e risulta :
per $t =0 : R_(min) = b^2/a$
per $t= \pi/2 : R_(max) = a^2/b $
Supponiamo ora che un punto materiale percorra l'ellisse a partire dal punto $A$ in figura; il parametro $t$ sia ora il tempo .
Il vettore velocità è in ciascun punto tangente alla conica , e le sue componenti cartesiane si determinano derivando rispetto al tempo le equazioni parametriche dette cioè :
$v_x = dotx = -a\sent$
$v_y = doty = b\cost$
quindi , come vettore : $ vecv = -asenthati + bcosthatj $ . Il modulo è ovvio.
Analogamente , si possono trovare le componenti cartesiane dell'accelerazione :
$a_x =ddotx = -acost = -x$
$a_y = ddoty = -bsent = - y$
e quindi si può scrivere il vettore $veca$ e calcolarne il modulo. Ma è più interessante scrivere l'accelerazione come somma vettoriale dell'accelerazione tangenziale e di quella centripeta :
$ veca = veca_t + veca_n = dotvhatT + v^2/RhatN$
siccome tutti gli elementi necessari , in un dato punto, sono noti o calcolabili , il calcolo dell'accelerazione centripeta non presenta difficoltà , se non di calcolo.
Ciò detto, perchè parli di "accelerazione centripeta media" ? Ti hanno già fatto notare che l'accelerazione è funzione del punto, quindi qual è lo scopo della richiesta ?
PS : ho trovato spiegazioni, figure ed animazioni molto belle del prof. Lorenzo Roi :
http://www.lorenzoroi.net/geomDiff/index.htmlhttp://matematica.unibocconi.it/articol ... onda-parte le figure animate, disegnate con Geogebra, contengono uno slider : cliccando sul segno + alla fine dello slider, si vede come cambia la figura stessa .