Filo indefinito e toroide

[canesciolt0]

Salve a tutti, ho questo problema

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sto avendo difficoltà a impostare l'integrale del flusso di B attraverso la sezione del toroide ( che è l'equivalente di calcolare il flusso di B su una spira circolare)

so che il campo generato dal filo in funzione della distanza è $ (mu _0i)/(2pix) $ con x la distanza dal filo.
come faccio a scrivere dA in modo che dipenda dalla distanza dal filo? sto provando in tutti i modi ma non ne vengo a capo.

il punto è che se la sezione fosse stata quadrata avrei scritto $ dA= 2xdx $

qui invece non so proprio come impostare il differenziale dell'area. mi date una mano?

[le soluzioni spesso sono errate, quindi non ci badate troppo se siete sicuri di quello che scrivete]

[RenzoDF]

... sto avendo difficoltà a impostare l'integrale del flusso di B attraverso la sezione del toroide

In generale ti basterebbe andare a scrivere l'area della striscia infinitesima della sezione del toro parallela al filo centrale, larga $dx$ e lunga $2\sqrt{r^2-x^2}$ (con $x$ distanza dal centro della sezione), interessata dal campo

$B(x)=\frac{\mu_0 i_F}{2\pi(R+x)} $

per poi integrare da -r a +r, ma direi che uscirebbe un'integrale non troppo semplice e che in questo caso è ovvio che si sottintende approssimare il calcolo grazie al fatto che il raggio $r$ è di un ordine di grandezza inferiore al raggio $R$, e quindi ...

BTW Da dove arriva quel problema?

[canesciolt0]

eh oddio a me non è sembrato troppo ovvio!


Comunque arriva da delle dispense del mio professore di Fisica 2 del CdL in Fisica! devo dire che in genere sono di media/piùchemedia difficoltà i problemi che ci propone ma su questo ieri sera ci ho perso quasi il sonno!

quindi mi stai dicendo che al denominatore di B posso considerare x nullo?

edit: comunque verrebbe un integrale bello complicato, ma considerare anche nel differenziale la x nulla non è un'approssimazione troppo pesante? anche se il risultato così tornerebbe, almeno a livello dimensionale... boh non so che pensare!

[RenzoDF]

eh oddio a me non è sembrato troppo ovvio!

Beh, quando vedi rapporti R/r elevati di solito è un forte "segnale", poi dipende dal contesto.

... Comunque arriva da delle dispense del mio professore di Fisica 2 del CdL in Fisica! devo dire che in genere sono di media/piùchemedia difficoltà i problemi che ci propone

Se la difficoltà è normalmente alta, non ti resta che integrare.

... quindi mi stai dicendo che al denominatore di B posso considerare x nullo?

Si, ti sto dicendo che puoi ritenere B costante su tutta la sezione del solenoide e quindi il flusso sarà un semplice BA.

... comunque verrebbe un integrale bello complicato, ma considerare anche nel differenziale la x nulla non è un'approssimazione troppo pesante?

Certo, non sarebbe per nulla trascurabile ma, visto che il fattore B(x) viene considerato costante, quell'integrale ti porterebbe semplicemente a determinare l'area del cerchio.

... anche se il risultato così tornerebbe, almeno a livello dimensionale...

Direi che il risultato torni anche simbolicamente a meno di un 2 che compare (correttamente) solo nella risposta c.

[canesciolt0]

si ti dicevo che in genere è alta ma integrare quella roba è esagerato ahahah con wolframalpha viene una soluzione lunghissima addirittura con le unità immaginarie dentro!

comunque pensavo che R/r fosse un rapporto abbastanza elevato ma non al punto da approssimare! grazie mille comunque, mi hai tolto un dubbio atroce

[RenzoDF]

si ti dicevo che in genere è alta ma integrare quella roba è esagerato ahahah con wolframalpha viene una soluzione lunghissima addirittura con le unità immaginarie dentro!

A pensarci bene quell'integrale, con qualche "trucchetto", si può anche fare e il risultato è pure semplice; eseguendo i calcoli il flusso concatenato con la singola spira del toro risulta infatti fornito dalla seguente semplice relazione non approssimata,

$\Phi=\mu_0 i_F R(1-\sqrt{1-(\frac{r}{R})^2})$

[canesciolt0]

A pensarci bene quell'integrale, con qualche "trucchetto", si può anche fare e il risultato è pure semplice;
$\Phi=\mu_0 i_F R(1-\sqrt{1-(\frac{r}{R})^2})$

ti dispiacerebbe dirmi come? giusto per curiosità, tanto credo proprio che lo voglia approssimato, almeno da come ha scritto la soluzione!
se il procedimento è troppo lungo da scrivere in latex magari puoi mettere le foto dell'esercizio se l'hai svolto su carta, altrimenti me lo spieghi a grandi linee se non hai voglia grazie mille comunque!

[RenzoDF]

... ti dispiacerebbe dirmi come? giusto per curiosità, tanto credo proprio che lo voglia approssimato, almeno da come ha scritto la soluzione!

Certo che sì, inizialmente avevo provato a sviluppare il denominatore per x/R << 1, ma poi mi è venuto in mente che quella configurazione filo-toro è quella di un "Rogowski coil" del quale mi ero in passato interessato relativamente alla misura degli impulsi di corrente associati alle scariche atmosferiche e di conseguenza via ricerca in rete ho recuperato un documento che ti linko

https://www.researchgate.net/profile/Morteza_Rezaee2/publication/224321929_Mutual_inductances_comparison_in_Rogowski_coil_with_circular_and_rectangular_cross-sections_and_its_improvement/links/09e4150b54b74e480b000000/Mutual-inductances-comparison-in-Rogowski-coil-with-circular-and-rectangular-cross-sections-and-its-improvement.pdf

nel quale, sostanzialmente, utilizzando la distanza dal filo ed esprimendo la lunghezza della fascia infinitesima via equazione del cerchio (più rapidamente con Euclide), grazie ad una (non proprio immediata) sostituzione di variabile, ci si può togliere dai piedi la radice passando ad una funzione razionale fratta, più facilmente integrabile.

Andando poi a controllare la differenza relativa fra il valore effettivo del flusso e il valore approssimato, per un rapporto r/R=0.1, si ottiene solo un +0.25 %, a dimostrazione che la relazione approssimata sarà in molti casi accettabile; differenza percentuale che va chiaramente a salire fino a giungere, per un rapporto r/R=1, a un inacettabile +50%.

BTW Per gli integrali puoi usare anche http://www.integral-calculator.com/ che ha meno limitazioni di WolframAlpha.