Sfere conduttrici poste a distanza finita tra loro

[sele_physics]

Salve a tutti, un paio di giorni fa ho sostenuto lo scritto di fisica II , e ho avuto grandi difficoltà a risolver il problema seguente (il testo è preso direttamente dal compito):

'' Si considerino ,nel vuoto, due sfere conduttrici di raggio R1 e R2 (con R1 > R2) . La distanza R fra i centri delle due sfere è finita (non infinita!) e soddisfa la condizione R > (R1 + R2) . Dopo aver depositato una certa carica sulle sfere, essere vengono collegate attraverso un filo conduttore. Determinare il rapporto fra le cariche Q1 e Q2 sulle due sfere. ''

Personalmente ho cercato di risolverlo utilizzando un'esercizio svolto (ovviamente è consentito tenerli durante gli esami) ma non sono arrivata ad una soluzione, tuttavia ho fatto le seguenti considerazioni.Le condizioni di questo sistema sono diverse rispetto a quelle degli esercizi a casa, in cui di solito le sfere erano poste a distanza infinita, di conseguenza una volta collegate le sfere, anche i potenziali (calcolati come cariche puntiformi dentro la sfera) vengono posti sotto uguaglianza e da lì è tutto molto semplice. In questo caso , invece, non è possibile fare un passaggio del genere senza prendere in considerazione la distanza fra i centri delle sfere, perchè presuppongo che vi sia un'interazione fra i campi elettrici .
Avete qualche idea a riguardo? Grazie per l'aiuto

[RenzoDF]

Proprio un bel "problemino", puoi postare una immagine del testo originale?

... davvero "interessante" quella precisazione R>R1+R2 , sei sicuro di non aver dimenticato un secondo ">", in quanto basterebbe che R >> R1+R2, per poter risolvere in modo semplice.

Se poi fossero state messe a diretto contatto fra loro, avresti potuto applicare la relazione di Maxwell¹alla quale feci riferimento tempo fa per un analogo problema,

http://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=14&t=43672

Se invece il problema fosse puramente simbolico, la sola (inutile) relazione R > R1+R2, non renderebbe di certo possibile la sua soluzione.

Se infine fosse numerico, noti i raggi e la distanza fra le sfere, potresti usare la relazione approssimata del post [13] del suddetto riferimento.

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Note

1. Al messaggio [19] del thread linkato. ↑

[sele_physics]

Proprio un bel "problemino", puoi postare una immagine del testo originale?

... davvero "interessante" quella precisazione R>R1+R2 , sei sicuro di non aver dimenticato un secondo ">", in quanto basterebbe che R >> R1+R2, per poter risolvere in modo semplice.

Se poi fossero state messe a diretto contatto fra loro, avresti potuto applicare la relazione di Maxwell¹alla quale feci riferimento tempo fa per un analogo problema,

http://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=14&t=43672

Se invece il problema fosse puramente simbolico, la sola (inutile) relazione R > R1+R2, non renderebbe di certo possibile la sua soluzione.

Se infine fosse numerico, noti i raggi e la distanza fra le sfere, potresti usare la relazione approssimata del post [13] del suddetto riferimento.

Certo posto il testo come allegato, anche se è esattamente come riportato sopra. Purtroppo posso assicurare che quel ''>'' era proprio un maggiore e non un molto più grande ahimè. Io ho provato a risolverlo con un altro problema trovato sul libro di testo che diceva :

''Due sfere conduttrici S1 e S2 , di raggi R1 e R2 , sono postenel vuoto a distanza finita x tra i centri molto grande tra R1 e R2. La sfera S1, isolata, ha una carica q1 e la sfera S2 è mantenuta a potenziale V2 rispetto all'infinito. Calcolare il potenziale V1(x) di S1 e la carica q2(x).''

Risultato : lo allego assieme alla foto del mio parziale

In buona fede, pur di non lasciare in bianco , ho copiato le prime due formule che ho visto nei risultati del potenziale (senza tra l altro accorgermi della terza riportata in basso a destra) di questo problema omettendo il simbolo di funzione ''(x)'' in quanto ho pensato che tanto R fosse costante e non variabile, ma penso mi abbia annullato l'esercizio e tra l'altro mi ha chiesto anche ''rispetto a quale punto '' stessi calcolando il potenziale... evidentemente non andava bene , o avendolo trovato svolto ho saltato qualche passaggio che al professore serviva.

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

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Note

1. Al messaggio [19] del thread linkato. ↑

[RenzoDF]

I modi per affrontare il problema possono essere diversi:

a) quello di ipotizzare una distanza fra le sfere molto grande rispetto ai raggi (al limite infinita), e di conseguenza uguagliare i potenziali delle due sfere, supponendo trascurabile la loro mutua influenza, andando a scrivere che

$q_1/R_1\approx q_2/R_2$

b) quello di ipotizzare che la distanza non sia molto grande rispetto ai raggi e quindi ammettere che ci sia una influenza reciproca; in questo caso sono possibili diversi livelli di approssimazione,

i) il primo dei quali è quello di ritenere una influenza sul potenziale della prima sfera da parte della seconda, supponendo pero' ancora una distribuzione uniforme di carica sulle due superfici, andando a scrivere

$q_1/R_1+q_2/R \approx q_2/R_2+q_1/R$

e quindi ottenendo

$q_1/R_1(1-R_1/R) \approx q_2/R_2(1-R_2/R)$

ii) il secondo, (terzo, quarto ... n-esimo), andando a scomodare il "metodo delle immagini" (lo conosci?) per andare a modellare la distribuzione della carica sulle sfere usando cariche fittizie "convenientemente" disposte sull'asse del sistema; in questo modo le due cariche $qi$ verranno ad essere modellate con una serie di cariche ovvero $qi=qi_0+qi_1+ ... qi_n$ e i calcoli ovviamente si andranno a complicare.

Non vado a descriverti i passaggi, ma per il secondo livello di approssimazione si arriverà alla relazione del post [13] del thread linkato in precedenza

$q_1/R_1(1-R_1/R+\frac{R_1R_2}{R^2-R_1^2})\ approx q_2/R_2(1-R_2/R+\frac{R_1R_2}{R^2-R_2^2})$

c) quello applicabile se le due sfere sono in contatto fra loro, nel qual caso avremo la soluzione di Maxwell (sempre via cariche immagine, riportata nel 3D ma al messaggio [19]), con le due serie infinite.

Da tutto ciò direi che nel tuo caso avresti potuto applicare il caso b) che sostanzialmente è anche quello usato nel secondo esercizio che hai postato¹, ma io rimango dell'idea che, vista l'assurdità di quel $R>(R_1+R_2)$, allo stesore di quel problema sia rimasto un ">" nella tastiera.

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Note

1. Nel quale però precisano "... a distanza finita x tra i centri molto grande tra R1 e R2". ↑

[sele_physics]

Allora ti posso assicurare che, ahimè, il mio professore ha VOLUTAMENTE scritto > e non >>, perchè i miei colleghi hanno risolto il problema presupponendo che la distanza fosse infinita e gli ha annullato l'esercizio.
Si il metodo delle immagini lo conosco, solo che non abbiamo mai fatto esercizi così complessi ... sono un pò perplessa, perchè allora non comprendo tutta la ''partaccia'' che mi ha fatto il professore prima di andarmene Seguendo anche i tuoi suggerimenti cercherò domani di rifarlo, ma penso di aver ottenuto lo stesso risultato riportato nel primo punto del metodo b. Per quanto riguarda la domanda che lui mi ha posto, sinceramente non so bene cosa rispondere: i potenziali singoli delle sfere già collegate (prima di porli sotto uguaglianza) dovrebbero essere calcolati rispetto a quale punto specifico effettivamente? Anche perchè volendo potrei riuscire a calcolarli anche attraverso gli integrali, per poi uguagliarli.. scusami se insisto, però so che me lo chiederà all'orale e più informazioni raccolgo meglio è!

[RenzoDF]

Per il metodo b) vai a calcolare i potenziali delle sfere via sovrapposizione, sommando per la prima sfera, al potenziale, (rispetto all'infinito , assunto come riferimento a potenziale nullo) dovuto a q1, il potenziale dovuto a q2, nel centro della prima sfera e viceversa, per poi andare ad uguagliarli visto il collegamento.

[sele_physics]

Perfetto ! allora domani proverò a rifarlo, Grazie mille!