Moto vertici poligono

Messaggioda Persona » 26/06/2017, 16:21

Ciao a tutti, ho un dubbio sullo svolgimento di questo esercizio:

N punti materiali sono inizialmente posti nei vertici di un poligono regolare con N lati,a una distanza R del centro. Istante per istante ciascun punto di muove con velocità costante v nella direzione del successivo preso in senso orario. Trovare le traiettorie di ciascun punto.

Si parte con l'equazione generalmente valida per determinare la velocità di un punto nel piano:

$vecv=dotrhate_r+rdotthetahate_(theta)$

A questo punto scrive queste due equazioni:

$dotr=-vcosalpha$
$rdottheta=vsinalpha$

dove $alpha$ è l'angolo compreso tra vertice e raggio, $alpha=(1/2-1/N)pi$, giustificandole dicendo che per "ragioni di simmetria i punti dovranno essere ai vertici di un poligono regolare, ruotato e contratto rispetto al precedente".

Tuttavia mi sfugge questo passaggio (da qui in poi diventa facile). Si tratta semplicemente delle proiezioni del vettore velocità sul "nuovo" poligono che si forma dalla rotazione", con il segno meno dovuto al fatto che la rotazione avviene in senso orario? Oppure è qualche altra diavoleria? Ho davvero difficoltà a "visualizzare" il passaggio (se c'è qualcosa da visualizzare...).

Grazie in anticipo a chi mi vorrà dare una mano.
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Re: Moto vertici poligono

Messaggioda mgrau » 26/06/2017, 16:40

Sull'equazione che hai scritto per prima non so cosa dirti, però come funziona il tutto si vede abbastanza: prendi un poligono qualsiasi (un triangolo equilatero andrà bene). L'angolo formato dai raggi che vanno dal centro a due vertici successivi è $(2pi)/N$. L'angolo formato dalla corda che unisce i due vertici con un raggio è $alpha = (pi - (2pi)/N)/2 = pi(1/2 - 1/N)$
Questa corda dà la direzione in cui un vertice inizia a muoversi, e, dato che la corda non è la tangente, il movimento è verso l'INTERNO del cerchio; quindi i punti si avvicinano, e, per simmetria, manterranno la forma del poligono originale.
Poi, puoi trovare la velocità di rotazione, che, se non sbaglio, dipende da $sin alpha$ (la componente della velocità normale al raggio) , e la velocità con cui si stringe (quella lungo il raggio), che dipende da $cos alpha$
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Re: Moto vertici poligono

Messaggioda Persona » 26/06/2017, 18:01

Grazie per la risposta. Sulla prima parte è tutto ok. Quello che mi crea problemi è la parte sulla velocità. Non capisco perché posso scrivere quelle due uguaglianze semplicemente partendo dalle considerazioni riportate.

Cosa intendi con la corda tra due vertici successivi del poligono?

mgrau ha scritto:Poi, puoi trovare la velocità di rotazione, che, se non sbaglio, dipende da sinα (la componente della velocità normale al raggio) , e la velocità con cui si stringe (quella lungo il raggio), che dipende da cosα


Sostanzialmente non capisco come fare questo.
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Re: Moto vertici poligono

Messaggioda mgrau » 26/06/2017, 21:09

I poligoni sono inscritti in un cerchio, giusto? I loro vertici sono sulla circonferenza, quindi un lato del poligono è una corda.
Ora, dato che la velocità istantanea ha la direzione del lato, quindi della corda, se chiamiamo $alpha$ l'angolo fra la corda e il raggio, vedi subito che la velocità si può scomporre in due componenti: una trasversale al raggio, $v_t = v sin alpha$, l'altra radiale, $v_r = v cos alpha$. Quella trasversale è responsabile della rotazione, e la sua velocità angolare è $omega = v_t/r$, l'altra della contrazione del poligono
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