Problema di Relatività

[Shackle]

Rispondo rapidamente col telefonino , tra un lavoro e un altro : no, la massa è un invariante , il concetto di massa relativistica, che aumenta con la velocità , è ampiamente superato.
Lavora sui 4-impulsi, come ti ho detto.
Chiudo di corsa. Ciao.

[ilgi]

Conservazione energia

Se l'energia di una particella del fascio di massa $M$ in moto è pari a 10 Gev, e questa paricella decade in 2 particelle della stessa massa $m0=M/2$ di cui una in moto e una ferma, ciò significa che questi 10 Gev ricompaiono in:

1) energia a riposo della particella che rimane ferma, ovvero $m0c^2$;
2) energia della particella che si muove, ovvero energia a riposo+energia cinetica: $m0c^2 + K$, in cui $K$ è pari a $m0c^2(gamma -1)$.

Conservazione quantità di moto

La quantità di moto della particella iniziale con energia 10Gev, si muove con quantità di moto $p$ che si ricava dalla relazione : $E^2= p^2c^2+ M^2c^4$.
Questa quantità di moto viene tutta ceduta alla particella in movimento: ovvero $p= gammam0*v$ proprio perchè la particella si muove. Quindi dici che associare a $gammam0$ la massa relativistica sia scorretto ?? Meglio tenere $gamma$ separato da $m0$ ??
Per ora questo ho pensato.....

[Shackle]

La strada che hai intrapreso non è affatto male!
Però , tieni presente che le due particelle figlie non possono avere masse pari a $M/2$. Chi ti dice che la massa si conserva? C'è un punto molto importante, nella dinamica relativistica di collisioni e decadimenti, su cui magari tornerò quando avrò più tempo :

1) l'energia è conservata, ma non è invariante
2) la massa è invariante , ma non è conservata

quindi la somma delle masse di particelle che collidono ( o dei prodotti di decadimento) non è uguale alla somma delle masse delle particelle che si producono ( o che decadono).

La conservazione è un processo che coinvolge il tempo, ed il tempo non è un invariante di Lorentz. Nel 4-impulso di una particella $P = (E/c, vecp)$ / la prima componente è quella temporale. MA il 4-impulso varia le sue componenti, passando da un riferimento ad un altro. Ciò che invece non varia è la sua norma : $ P^2 = (mc)^2$ ,cioè $m$ è invariante.

Ma torniamo a noi.
Partiamo da capo. La particella iniziale ha massa $M= 5 (GeV)/c^2 $ nota , ed energia totale, nel riferimento del laboratorio, anch'essa nota $ E = 10GeV$ . Abbiamo detto che , rispetto al laboratorio, la velocità di $M$ è $0.866c$ , che deriva dal fattore $gamma=2$ . Questo significa che , nel laboratorio, si ha per $M$ l'energia totale :

$E_t = Mc^2 + K = Mc^2 + (gamma-1)Mc^2 = 2Mc^2 $

e cioè l'energia totale è il doppio di quella di riposo: metà della totale è energia di riposo, l'altra metà è en cinetica.

LA particella decade in due particelle di ugual massa : per ora le chiamo $m_1$ ed $m_2$ , anche se so che deve essere $m_1= m_2 = m $ , e suppongo che quella che deve avere velocità nulla nel laboratorio sia $m_2$ .

L'energia totale di $M$ deve quindi, per la conservazione dell'energia , trasformarsi in :

1) energia di riposo + energia cinetica di $m_1$
2) energia di riposo di $m_2 $

in formule : $E_t = m_1c^2 + K_1 + m_2c^2$ ,cioe, uguagliando le due masse "figlie" :

$2Mc^2 = mc^2 + K_1 + mc^2 = 2mc^2 + (gamma_1 -1) mc^2 = (gamma_1 +1) mc^2 $

dove $gamma_1$ è il fattore di Lorentz legato alla velocità $v_1$, nel laboratorio, dell'unica particella figlia che si muove.

Quindi : $m = (2M)/(gamma_1 + 1 ) $ .....[1]

Abbiamo due incognite : $m$ e $gamma_1$ Ci vuole un'altra equazione. Ce la dà la conservazione della qdm.

La quantità di moto di $M$ è nota : $p = gammaMv$ . Questa deve essere uguale a $p_2 + p_1 = 0 + gamma_1mv_1 $ poiché solo la particella $1$ si muove, la $2$ è ferma, per l'ipotesi del problema. Apparentemente, qui sono incognite sia $gamma_1$ che $v_1$ , ma in realtà una sola è l'incognita poiché si può scrivere :

$v_1 = c sqrt(1-1/(\gamma_1^2)$

risulta che il prodotto $gamma_1 v_1 $ è uguale a : $csqrt(gamma_1^2-1)$ . in definitiva , la seconda equazione che ci serve è :

$m*csqrt(gamma_1^2-1) = p$ ......[2]

dove $p$ è nota . Eliminando $m$ tra [1] e [2] si può ricavare $gamma_1$ .

Si tratta di mettere i numeri, ora. Ho fatto dei calcoli molto in fretta ( in questi giorni sono sempre di fretta!) , ed ho trovato :

$gamma_1 = 7 $ e $ m = 1.25 (GeV)/c^2$

ma non sono sicuro . L'importante però è capire due cose :

conservazione dell'energia
conservazione della qdm

che poi non sono altro che la conservazione del 4-impulso.

Aggiungo questo : se giriamo il film di questo decadimento di $M$, con una delle masse figlie che rimane ferma nel laboratorio, e lo proiettiamo all'incontrario , otteniamo quest' altro problema : una massa $m$ è in quiete nel laboratorio, è insomma un bersaglio fisso. Una identica particella $m$ le va incontro con una certa velocità $v$ , e quindi un fattore $gamma = 7$ (ti do il fattore , ma avrei potuto darti la velocità) .

Determinare la massa della particella finale , nel laboratorio. Bene : cercando in precedenti post nel forum , ho trovato questo:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se una particella di massa $m$ dotata di velocità $v$ in un riferimento , urta una identica particella in quiete nello stesso riferimento, la massa finale $M$ si può calcolare a partire dai due 4-vettori energia impulso, e ricordando come si calcola la norma di un 4-vettore. Abbiamo per ipotesi :

$P_1 = (\gammamc, \gammamv)$ (particella 1 in moto con velocità $v$)

$P_2 = (mc, 0 ) $ (particella 2 in quiete)

Il 4-vettore energia-impulso risultante è dato da :

$P = P_1 + P_2 = (\gammamc+mc, \gammamv)$

e si ha : $P^2 = (P_1+P_2)^2 = P_1^2 +P_2^2 + 2 P_1P_2 $ ------(1)

in cui :

$P_1^2 = (\gammamc)^2 - ( \gammamv)^2 = ……= (mc)^2 $

$P_2^2 = (mc)^2$

$2P_1P_2 = 2(\gammam^2c^2 -0) = 2\gamma(mc)^2$

La massa $M$ totale è data dal modulo quadro del 4-vettore risultante : $ P^2 = (Mc)^2$ , per cui deve essere , per la (1) :

$M^2c^2 = (mc)^2 + (mc)^2 + 2\gamma(mc)^2 = 2m^2c^2 (1+\gamma)$

e eliminando $c^2$ :

$M = msqrt(2(1+\gamma))$

Il problema è chiaro . Se metti ora $gamma = 7 $ , ottieni proprio che $M =4m$ .

Spero si tutto chiaro, ho scritto di notte...

[ilgi]

Grazie mille Shakle..... Mi hai risolto diversi dubbi.... e grazie anche per l'integrazione finale, praticamente un altro esercizio

[ilgi]

Torno alla carica con un altro esercizio, l'ultimo, lo giuro, poi non rompo più le scatole .
Di questo esercizio ho pure le soluzioni, che onestamente, per come sono scritte, mi sembrano poco chiare.

Una particella neutra di massa invariante 498 MeV/c2 (kaone) di energia E=25GeV decade in due neutrini (di massa invariante trascurabile). Un neutrino si muove nella direzione di moto del kaone, l'altro nella direzione opposta. I due neutrini raggiungono contemporaneamente nel sistema di riferimento del laboratorio due rivelatori posti ad una distanza di 10km l'uno dall'altro. Calcolare:
1) L'energia minima di un neutrino
2) L'intervallo di tempo nel sistema di riferimento del kaone tra l'arrivo nel rivelatore del primo neutrino e l'arrivo del secondo neutrino.

le soluzioni sono

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Quel che credo di aver capito è che, per semplicità nella risoluzione, si è risolto il quesito 1 nel sistema di riferimento del CM, per poi 'trasportare' le soluzioni ottenute, attraverso le trasformazioni di Lorentz, nel sistema del laboratorio.
Allora, nel sistema CM la particella possiede un'energia $E_(0)=$ $498 MeV$ in quanto la sua massa è $(498 MeV)/c^2$. Essa decade in due neutrini, che, per la conservazione della quantità di moto, devono:
1) procedere in direzioni opposte, ovvero i due vettori velocità devono avere versi opposti, ma con stesso modulo (da cui discende una stessa $gamma$),
2) possedere la stessa massa
Per la conservazione dell'energia invece metà dell'energia del kaone(la particella di partenza, rispetto alla quale è riferito il sistema di centro di massa) deve essere associata a ciascuna delle due, ovvero $E_(CM)^(n)$ =$249$. Questo ovviamente vale proprio perchè il Kaone è fermo in partenza(sono sempre nel sistema CM). Correggetemi se sbaglio.
Ok quindi nel sistema CM l'energia minima sembra proprio essere metà dell'energia del Kaone in quiete.
Ora arriva la parte secondo me più ostica, ovvero l'uso delle trasformazioni di Lorentz. Per il sistema del centro di massa il sistema del laboratorio si muove con velocità $V= - 0.9997...$ il cui modulo è ottenuto da $V= sqrt(1-1/(gamma)^2$ con $gamma=50$. Per il laboratorio il viceversa.
Inserisco un disegno, in cui cerco di rappresentare la situazione nel sistema CM e nel sistema del Laboratorio, non garantisco sulla correttezza.

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Ora dato che dal sistema del centro di massa (fermo) devo passare al sistema del laboratorio in moto, perchè visto dal primo, con velocità che è opposta all'orientazione degli assi x del sistema del laboratorio e x del sistema del CM, se non sbaglio dovrò usare le trasformazioni relativistiche dell'impulso e dell'energia con segno +, queste per intenderci:

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In particolare sono interessato all'ultima, ovvero quella dell'energia, che riscrivo come
$E_(lab)= gamma*(E_(CM) + beta*c(p_(CM)))$
dove $E_(CM)^(n)$ è l'energia delle particelle,(ricordo che con $E_0$ indico la massa della particella iniziale),i neutroni, quella calcolata prima, e $p_(CM)$ è la quantità di moto delle particelle, ricordo sempre nel sistema del CM. $beta$ è pari a rapporto $V/C$ = $0.9997$ che possiamo approssimare a 1. $p_(CM)$ invece viene approssimato a $E_(CM)/c$, a partire dalla relazione $E^2= p^2*c^2 + m_(0)^2*c^4$, perchè $m_(0)$ trascurabile (dato del problema), che credo assuma segno positivo e pure negativo, perchè due sono le particelle di cui si vuole calcolare l'energia, e ovviamente opposti sono i loro versi di percorrenza.
Sostituendo il tutto viene, per la particella con quantità di moto positiva


$E_(lab)= gamma*(E_(CM) + beta*c(p_(CM)))$ = $50 * (249MeV +1 *c((249MeV)/c)$

Ottengo $24900 Mev$ ovvero $25 Gev$, ma non $2.5 Gev$ come proposto in soluzione dove sbaglio ???????????
Mentre l'altra, quella con quantità di moto negativa ha energia pari a $0$

SOS

[ilgi]

Nessuna idea ??

[Shackle]

Abbi un po' di pazienza, decifrare 'sta roba non è facile. Ma dovresti farcela da solo, dopo tutto ciò di cui abbiamo parlato...PRobabilmente c'è qualche errore di calcolo.

Dopo un po'....

Ho controllato la soluzione del libro, è giusta . Ad un certo punto scrive ( ometto l'apice $nu$ per non appesantire la scrittura, ma si intende che mi riferisco ai neutrini) :

$ E_(lab) = gamma E_(CM)(1+-beta) $

e questo è corretto : ci sono due neutrini , ad uno compete il segno positivo, all'altro il segno negativo . Ora non stare a preoccuparti a quale dei due ! Da questa formula, poiché si ha :

$(1-beta^2)/(1+beta) = 1-beta$

e analogamente :$(1-beta^2)/(1-beta) = 1+beta$

puoi scrivere :

$ E_(lab) = gamma E_(CM)(1-beta^2)/(1+-beta) = \gamma/\gamma^2 E_(CM)/(1+-beta) = E_(CM)/(gamma(1+-beta)$

Perciò , la minima energia ce l'hai quando assumi il segno $+$ davanti a $beta$ , e risulta :

$E_(min) \approx E_(CM)/(2gamma) = (249 MeV)/(100) = 2.49 MeV $

Poi c'è il calcolo del $\Deltat'$ nel rif. del Kaone , con la TL del tempo, tenendo conto che nel rif del laboratorio il dato è che i due neutrini arrivano contemporaneamente .

[ilgi]

Grazie Shackle, gentilissimo. Perchè fare tutti questi passaggi algebrici , quando basta sostituire beta ? Non ne vedo il senso
Che testa dura che sono