Dominio di dipendenza e influenza PDE D'Alembert

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Salve a tutti, sono un matematico alle prese con l'esame di fisica matematica, il corso segue a grandi linee queste dispense
https://dipmat.univpm.it/~franca/didattica/opzionaleMetodi/ModelliPDE.pdf
Il mio problema riguarda la formula di D'Alembert, che potete trovare a pagina 65 delle dispense che vi ho postato, o analogamente a pagina 71 del PDF.

Il problema non sta molto nella formula ma sull'osservazione che fa a pagina 67 sul dominio di dipendenza e di influenza.

Mi è chiaro che $\forall(x_0,t_0)$ la soluzione $\u(x_0,t_0)$ dipenda da $\v_0$ in $[(x_0-ct_0,x_0+ct_0)]$ ma non capisco per quale motivo la soluzione dipenda da $u_0$ solo nei punti $x_0-ct_0,x_0+ct_0$. Quello che mi torna strano è che quando ho definito il problema la funzione $u_0$ è definita ovunque, quindi la soluzione dovrebbe dipendere sempre da $u_0$.

La difficoltà ancora più grande l'ho incontrata quando parla del dominio di influenza, non capisco per quale motivo assegnare i dati iniziali in un intervallo implichi che la soluzione venga influenzata in quella parte di piano delimitata dalle caratteristiche, non riesco proprio a spiegarmelo in nessun modo.

Spero che possiate aiutarmi, grazie infinite

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il primo dubbio, se si calcola $u(x_0,t_0)$ sostituendo $[x=x_0] ^^ [t=t_0]$ in $u(x,t)$ si ottiene:

$[u(x,t)=1/2[u_0(x-ct)+u_0(x+ct)]+1/(2c)\int_{x-ct}^{x+ct}v_0(s)ds] ^^ [x=x_0] ^^ [t=t_0] rarr$

$rarr [u(x_0,t_0)=1/2[u_0(x_0-ct_0)+u_0(x_0+ct_0)]+1/(2c)\int_{x_0-ct_0}^{x_0+ct_0}v_0(s)ds]$

Come si può osservare, $u(x_0,t_0)$ dipende da $u_0$ solo per i valori del suo argomento $[x_0-ct_0]$ e $[x_0+ct_0]$.

Quello che mi torna strano è che quando ho definito il problema la funzione $u_0$ è definita ovunque, quindi la soluzione dovrebbe dipendere sempre da $u_0$.

Quando si calcola $u(x,t)$ in $(x_1,t_1)$ e in $(x_2,t_2)$ generici:

$[u(x_1,t_1)=1/2[u_0(x_1-ct_1)+u_0(x_1+ct_1)]+...]$

$[u(x_2,t_2)=1/2[u_0(x_2-ct_2)+u_0(x_2+ct_2)]+...]$

si contemplano tutti i valori dell'argomento di $u_0$. In definitiva, la soluzione $u(x,t)$ dipende da $u_0$ per ogni valore del suo argomento.

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ah ok certo ora questa cosa mi è chiarissima... GRAZIE. Per quanto riguarda la seconda domanda sapresti aiutarmi?

[anonymous_0b37e9]

Conviene riferirsi all'immagine sottostante, avendo posto $[c=1]$:



Intanto, per $[t=0]$, i dati (iniziali) sono assegnati nei punti le cui ascisse soddisfano $[a lt= x lt= b]$. Inoltre, per un generico istante $[t gt 0]$, l'influenza dei dati iniziali si è propagata, a sinistra, fino al punto di ascissa $[x=a-ct]$, a destra, fino al punto di ascissa $[x=b+ct]$. Nell'immagine di cui sopra, il punto P appartiene alla caratteristica $[x+ct=a]$ e le sue coordinate sono $P(a-ct,t)$, il punto Q appartiene alla caratteristica $[x-ct=b]$ e le sue coordinate sono $Q(b+ct,t)$. Più intuitivamente, le cose vanno come se, all'istante $[t=0]$, si accendessero delle lampadine per $[a lt= x lt= b]$. Ebbene, a un generico istante successivo la luce si è propagata, a sinistra, fino al punto di ascissa $[x=a-ct]$, a destra, fino al punto di ascissa $[x=b+ct]$.

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sinceramente ancora non mi è tutto chiaro, io so che la soluzione è costante lungo le caratteristiche, dunque se io so che valgono le condizioni iniziali in [a,b] allora definisco la soluzione lungo tutte le caratteristiche all'avanti e all'indietro passanti per (x,0) con x che varia in [a,b]. però così facendo mi rimane escluso una sorta di triangolo che sta nella regione rossa nell'immagine che tu hai postato, e non riesco a capire come faccio ad influenzare la soluzione anche in quella regione.
Ho tipo l'impressione di non aver capito nulla . scusa e grazie per la pazienza.

[anonymous_0b37e9]

Premesso che, nella formula di d'Alembert:

$[u(x,t)=1/2[u_0(x-ct)+u_0(x+ct)]+1/(2c)\int_{x-ct}^{x+ct}v_0(s)ds]$

per determinare il dominio di influenza dei dati iniziali nell'intervallo $[a,b]$ è necessario considerare anche il termine contenente l'integrale, è piuttosto evidente che il medesimo integrale è senz'altro nullo, indipendentemente da $v(s)$, se e solo se l'ascissa $x$ e l'istante $t$ in cui si valuta la soluzione soddisfano la seguente condizione:

$[[x+ct lt a] vv [x-ct gt b]] ^^ [t gt= 0]$

Proprio la suddetta condizione è la motivazione dell'immagine allegata nel mio messaggio precedente. Tuttavia:

Più intuitivamente, le cose vanno come se, all'istante $[t=0]$, si accendessero delle lampadine per $[a lt= x lt= b]$. Ebbene, a un generico istante successivo la luce si è propagata, a sinistra, fino al punto di ascissa $[x=a-ct]$, a destra, fino al punto di ascissa $[x=b+ct]$.

onestà intellettuale impone di ritenere l'esempio sopra citato incompleto e di ringraziarti per la puntuale obiezione. Ad ogni modo, uno studio più approfondito della dipendenza della soluzione da entrambe le condizioni iniziali può senz'altro facilitare la comprensione.

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visto che non ero molto preparato per l'esame ho rimandato l'esame a settembre. Sto proprio ora ripetendo la parte che avevo chiesto, e forse ora sono riuscito a capire il mio inghippo mentale. Nell'ultima figura che ho postato, quella con le aree in verde e blu, ho rappresentato solo l'influenza della condizione iniziale su $u_0(x+ct)$ e $u_0(x-ct)$, ma dal momento che nella formula di D'Alembert compare anche l'integrale avente come estremi le due rette x+ct e x-ct allora l'influenza avviene anche in quel triangolo che nell'ultima mia foto postata sta tra le regioni verde e blu. Dovrebbe essere questo il motivo giusto? Ecco perché @anonymous_0b37e9 mi aveva risposto dicendo che dovevo far attenzione anche all'integrale. Grazie!