trasformazione isoentropica

[dRic]

Salve, ho un dubbio nel calcolare la temperatura finale di una isoentropica. Il mio dubbio è se questa viene calcolato nello stesso modo se il sistema è chiuso o aperto (stazionario). Per calcolare la variazione di temperatura di una isoentropica parto dalla relazione $ TdS = dh - vdp $ oppure $ TdS = du + pdv $. Le due relazioni sono matematicamente equivalenti in quanto $ h = u + pv$ e quindi $ dh = du + pdv + vdp $ (è facile vedere come da una io possa facilmente ottenere l'altra). sapendo che $ dS = 0 $ ed integrando ottengo il famoso rapporto $ T_2/T_1 = (P_2/P_1)^((y-1)/y) $ con $ (y-1)/y = R/(cp) $. L'unica cosa che mi turba è che seppur matematicamente identiche le due relazioni da cui parto sono fisicamente differenti. Se io ho un sistema CHIUSO non ha senso parlare di $dh$ in quando ho solo $du$ e viceversa in un sistema APERTO ho la situazione opposta. E' dunque possibile che entrambi i casi obbediscano alla stessa equazione o mi sono perso qualcosa?

PS: Ho utilizzato l'equazione del Gas perfetto nei passaggi intermedi

[mdonatie]

Non è esatto dire che se un sistema fosse aperto allora dovremmo definire l'entalpia invece dell'energia interna.
Tutte le considerazioni derivano dell'equazione di bilancio energetico.

$(dE)/(dt)=\dotQ+\dotL_m + F_(\text(in))(\hat(E)_(\text(in))+P_(\text(in))\hat(V)_(\text(in)))-F_(\text(out))(\hat(E)_(\text(out))+P_(\text(out))\hat(V)_(\text(out)))-P(dV)/(dt)$

Dove:
$(dE)/(dt)$: la variazione di energia all'interno del sistema, stima dei termini di accumulo.
$\dotQ$ , $\dotL_m$: sono le potenze fornite per scambio termico e lavoro meccanico.
$F$: sono le portate di materia entrante e uscente dal sistema. Questa materia in entrata e uscita possiede energia cinetica, interna, potenziale, magnetica.... e genera anche energia di pressione. Per questo trovi i termini $\hat(E)+P\hat(V)$
$-P(dV)/(dt)$: invece è la potenza dovuta al lavoro delle forze di pressione che agiscono sul sistema.
***il cappellino $\hat$ indica una grandezza specifica

Perchè è preferibile studiare una funzione invece di un'altra?...
Cerco di spiegartelo lavorando sui sistemi...

Sistema aperto che funzioni in condizioni stazionarie ($(dE)/(dt)=0$ , $F_(\text(in))=F_(\text(out))$), lo scriveremo:

$0=\dotQ + \dotL_m + F(\hat(E)_(\text(in))+P_(\text(in))\hat(V)_(\text(in)))-F(\hat(E)_(\text(out))+P_(\text(out))\hat(V)_(\text(out))) - P(dV)/(dt)$

Nel caso in cui siano trascurabili i termini di energia potenziale, cinetica... ma non quella interna, allora $E=U$. Riscrivendo l'equazione di bilancio:

$0=\dotQ + \dotL_m +F(\hat(U)_(\text(in))+P_(\text(in))\hat(V)_(\text(in)))-F(\hat(U)_(\text(out))+P_(\text(out))\hat(V)_(\text(out)))-P(dV)/(dt)$

Cos'è $U+PV$? Ecco perché è preferibile studiare la funzione entalpia in sistemi aperti con accumulo nullo.

${(F(\hat(H)_(\text(out))-\hat(H)_(\text(in)))=\dotQ + \dotL_m -P(dV)/(dt)),(\hat(H)=\hat(H)(S,P)):}$

Sistema chiuso invece rispetto ad un sistema aperto non possiede i termini di flussi entranti ed uscenti ($F=0$):

$(dE)/(dt)=\dotQ+\dotL_m-P(dV)/(dt)$

anche in questo caso, se dovessimo considerare solo i termini come energia interna:

$(dU)/(dt)=\dotQ+\dotL_m-P(dV)/(dt)$ $rarr$ $dU=\deltaQ+\deltaL_m-PdV$

E in questo caso non sarebbe male definire l'energia interna invece dell'entalpia...

Per questo si dice che per sistemi aperti consideri l'entalpia e per i sistemi chiusi l'energia interna... però nessuno ti vieta di valutare una funzione anziché un altra...

[dRic]

Grazie mille per la risposta. Due osservazioni:

1) Sono abbastanza sicuro che in un bilancio di energia il termine $-pdv$ è ridondante perché è tenuto già conto in $L_m$. In tutti i bilanci che ho sempre scritto io non l'ho mai visto, nemmeno sui miei libri...

2) Questa "dimostrazione" mi era già nota, solo che concettualmente mi lascia con l'amaro in bocca perché è solo matematica. Se vogliamo dare senso fisico all'entalpia possiamo dire che è l'energia che serve per "creare un sistema" (energia interna) e "inserirlo nello spazio" (lavori di pressione). Adesso, in un sistema chiuso mi pare evidente che non ha senso parlare di entalpia perché c'è solo energia interna. In effetti non ho specificato bene quando ho aperto la discussione, più che una risposta "matematica" cercavo una risposta "fisica". Magari non c'è ed è solo una questione di comodità per svolgere i conti, come ha detto lei. Comunque sono abbastanza fiducioso che anche nel caso di sistema chiuso l'entalpia abbia un senso fisico che tuttavia ancora mi sfugge...

Ps: Ammetto che mi faccio delle seghe mentali non da poco

[mdonatie]

Il termine $\dotL_m$ non è un termine comune in molti testi, questo tiene conto della potenza fornita ad un modulo meccanico, invece il termine $P_(\text(ext))dV$ tiene conto di un lavoro effettuato sul sistema dalle forze esterne, e nel caso in cui le trasformazioni raggiungano l'equilibrio termodinamico in un tempo infinitesimamente piccolo allora questo termine è esprimibile come $-PdV$.
E' per questo che preferisco adottare questa distinzione.

Vorrei contrariarti un attimo...
Immagina di dover studiare un sistema chiuso che passa da uno stato di $P_1 , T_1$ a $P_2 , T_2$ e assumiamo che per tale sistema sia valida l'equazione di stato dei Gas Perfetti. Ed ipotizziamo che questa trasformazione sia isobara.
Ad esempio $P=1atm$ , $T_1=400K$ , $T_2=500K$ e $c_P(\barT)=1 [J/(mol*K)]$
Quindi se dovessimo studiare l'equazione di bilancio per un sistema chiuso otterremmo: $dU=\deltaQ-PdV$
In questo caso come faresti a studiare "facilmente" in termini di energia interna?
Dovresti conoscere il termine $c_V=((\partial\hat(U))/(\partialT))_(\hatV)$, che è facilmente esprimibile dalla relazione di Mayer $c_P-c_V=T((\partial\hat(V))/(\partialT))_P ((\partialP)/(\partialT))_(\hat(V))$ che nel caso dei Gas Perfetti risulta $c_P-c_V=R$
Molte volte questi procedimenti non sono fattibili a causa di una scarsa conoscenza del particolare sistema... Perciò andare a studiare il sistema in termini di $U$ diventa abbastanza difficile (vabbè... non è questo il caso ).
Ed oltretutto il sistema ci chiede di considerare una trasformazione a P costante, perciò considerare il calore specifico a volume costante non sarebbe giusto.
Quindi converrebbe esprimere l'equazione di bilancio attraverso l'entalpia...

$d(H-PV)=\deltaQ-PdV$ $rarr$ $dH=\deltaQ+VdP$

Ora cominciamo ad analizzare l'equazione... la pressione è costante... possiamo perciò trascurare il termine $VdP$...
In questo caso per una trasformazione isobara abbiamo appena dato un significato fisico all'entalpia di questo specifico sistema (perlopiù per un sistema chiuso)...

$dH=\deltaQ$

L'entalpia in questo caso è l'energia in forma di calore termico da fornire al sistema per far avvenire la trasformazione isobara.
Poi subentra il lavoro di calcolo... esprimere $dH$ attraverso il suo differenziale, studiarlo e sostituire la relazione ottenuta all'interno dell'equazione di bilancio.
Infine risulta che $dU=dH-PdV$

[dRic]

$\dot(L)_m$ non è un termine comune in molti testi, questo tiene conto della potenza fornita ad un modulo meccanico, invece il termine $P_(ext)dV$ tiene conto di un lavoro effettuato sul sistema dalle forze esterne, e nel caso in cui le trasformazioni raggiungano l'equilibrio termodinamico in un tempo infinitesimamente piccolo allora questo termine è esprimibile come $−PdV$.
E' per questo che preferisco adottare questa distinzione.

Potrebbe spiegarmi meglio questo passaggio... sono molto curioso ma mi sfugge devo dire.

Inoltre la volevo ringraziare perché mi ha fatto tornare alla mente delle cose che avevo "messo nel cassetto" ed ora sono soddisfatto. Mi rimane solo un'ultima inezia da risolvere. Tra un trasformazione che coinvolge un sistema chiuso e una che ne coinvolge uno aperto stazionario non vi è differenza nel calcolo del $dh$? Voglio dire, qualsiasi trasformazione io consideri, sia il sistema chiuso o aperto stazionario, potrò sempre, nel piano T-S, muovermi lungo una isoterma e riportarmi, per semplicità a una trasformazione isobara che fornisce "lo stesso risultato" sia per un sistema chiuso che per uno aperto stazionario; giusto? L'unica differenza la dovrei avere nel caso in cui abbia accumulo e debba quindi considerare una differente distribuzione delle portate massiche nel sistema.


Ps: ho dato uno sguardo al suo forum (tra l'altro, è nuovo?); lei è per caso un ingegnere chimico? Ho visto tutti i post sulla termodinamica e sono davvero fatti bene, mi ricordano il mio libro

Pss: riguardando i miei appunti ho pensato: non è che con $L,$ intende la potenza meccanica associata alle irreversibilità che viene vista dal sistema come calore entrante?

[mdonatie]

Se mi dessi del tu, te ne sarei veramente grato!
Quella è una piattaforma che utilizziamo io e altri ragazzi per un centro studi vicino casa, la utilizziamo di rado...
Diciamo che ci hai quasi preso!!! Non sono ancora a tutti gli effetti ingegnere, possiedo una laurea di primo livello e sto completando quella magistrale.
Comunque mi rifaccio molto ai testi che ho utilizzato (Chemical Engineering Thermodynamics - Sandler), ed ultimamente mi è capitato di seguire un ragazzo che doveva sostenere appunto l'esame di termodinamica 1.

Comunque... se consideriamo il flusso totale di energia dovuta al lavoro è bene suddividere questo in diverse parti.
In molti libri questo viene indicato con $\dotW$ da work (potenza meccanica), però io per deformazione la indico con $\dotL$ da lavoro.
Una parte di questo lavoro è dovuta dal flusso di energia meccanica (come già ti dicevo nei post precedenti) $\dotL_m$ (o in inglese $W_s$ da shaft work) che deve essere presente ai fini di far muovere un organo meccanico senza far avvenire deformazioni dei confini del sistema.
Un'altra parte di questo è dovuta alla potenza elettrica del sistema $\dotL_E=V I$ (che non ho mai utilizzato)

Poi arriviamo a quello più significativo, al lavoro prodotto dalle deformazioni delle superfici di contorno del sistema.
Il caso particolare è quello di esprimere il lavoro di compressione/espansione di un sistema contro le forze esterne.
Queste forze esterne possono essere viste come $F_(\text(ext))=P_(\text(ext))S$ la pressione che agisce sui confini del sistema.
Denotando il lavoro che le forze di pressione devono effettuare per compiere una variazione del sistema: $dL=F_(\text(text)) dx=P_(\text(text)) S dx=P_(\text(text))dV$
Quindi se il lavoro effettuato dalle forze esterne di pressione fosse positivo ($dV>0$) ciò vorrebbe dire che sul sistema si opererebbe una espansione, e viceversa una compressione ($dV<0$).
In questo caso subentra la convenzione del segno (positivo se il lavoro viene fatto dall'ambiente sul sistema)...
Quando la $P_(\text(ext))>P_(\text(int))$ succede che l'ambiente esterno compie lavoro sul sistema compiendo una compressione...

Il lavoro compiuto dall'ambiente sul sistema assume segno positivo (convenzione)...
Un lavoro di compressione compiuto dalle forze esterne è però negativo...

In questo caso subentra un'incongruenza, perciò è giusto "rattoppare" la relazione introducendo un segno negativo: $dL=-P_(\text(ext))dV$
Oltretutto questo lavoro si compie solo nel caso in cui ci sia una variazione del volume del sistema. Perciò se il volume dovesse restare costante (nel caso in cui la superficie sia una membrana mobile) allora potremmo supporre che $P_(\text(ext))=P_(\text(int))$...
Quindi se dovessimo considerare una trasformazione di compressione o espansione da un $V_1$ a un $V_2$ che procede con un passo per arrivare al volume finale pari a $\DeltaV rarr 0$ (trasformazione quasi-statica, quindi reversibile) allora potremmo supporre anche che $P_(\text(ext))=P_(\text(int))$ proprio perchè consideriamo la variazione di volume tendente a zero (quasi nulla). Allora:

$dL=-P_(\text(ext))dV=-PdV$

[mdonatie]

Ho evitato la risposta delle altre domande...
Bè si alla fine l'entalpia e l'energia interna sono sempre funzioni di entropia,pressione e volume e il loro carattere lo deduci studiando il loro differenziale alle derivate parziali e successivamente le derivate parziali utilizzando le relazioni di Maxwell.
Proprio come stai dicendo l'unica differenza è presente all'interno dell'equazione di bilancio.
Le differenze le troveresti si, in caso di accumulo, anche nel caso dovessero avvenire delle reazione con variazione del numero di moli.

Si, credo che $L$ potrebbe essere visto come potenza meccanica vista come contenuto energetico entrante al sistema (alla fine sono espresse sempre come energie o potenze, poi sta a noi distinguere chi è di chi )
Anche se... più che $L$ il calore dovuto agli attriti di solito è considerato nel termine $Q$.

E comunque il più delle volte questi termini di lavoro non di compressione/espansione non vengono espressi nelle equazioni termodinamiche, a meno che non si studino apparecchiature come le turbine, per questo $\dotL_m$ è di uso poco frequente.

[dRic]

Scusami, vorrei farti ancora una domanda, ma in questi giorni propri non riesco a trovare un minuto libero per ragionarci un po' sopra prima di chiedere

[dRic]

Ciao, mi faccio vivo dopo tanto. I tuoi discorsi mi tornano tutti, ma proprio per questo credo che il bilancio hai scritto sia ridondante. Hai sicuramente almeno un paio di anni in più di esperienza di me e quindi sono riluttante a non accettare il tuo bilancio, ma proprio non capisco. Trascurando il lavoro elettrico gli unici contributi che mi danno lavoro solo quello necessario a deformare il sistema $pdv$ e quello di "pulsione". Il lavoro di pulsione è tenuto in conto, nei sistemi aperti dalla funzione entalpia, e (considerando, per semplicità, il lavoro di deformazione del sistema nulla) è pari a $vdp$. Il primo bilancio che hai scritto nel primo commento è ridondante (per me), ma sarà una questione di terminologia che non riesco ad afferrare perché se a me i bilanci (in genere) vengono e sicuramente anche a te, vorrà dire che ci stiamo solo non comprendendo. In ogni caso grazie mille delle risposte (stiamo divagando dall'argomento del tread, il quale mi è chiaro finalmente).

[mdonatie]

Siccome i tempi sono stretti, linko un file, forse la spiegazione risulterà più chiara...

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