dubbio su oscillazioni con relativo problema

[matteo_g]

Ciao ragazzi, sto affrontando l'argomento oscillazioni e ho letto sul libro che nel caso che ci sia un blocco attaccato ad una molla su un piano orizzontale posso dire che l'energia $ E=K+U=1/2*K*(Xm)^2 $ , dove U in questo caso è l'energia potenziale associata alla molla.

(1) se mi trovo in una situazione dove il blocco e la molla sono verticali, devo considerare anche l'energia potenziale gravitazionale (fissando h=0 in un certo punto di riferimento) giusto? quindi ciò che ho scritto sopra è valido solo per blocchi orizzontali giusto?

(2) ora veniamo al problema:
Tre vagoni pieni di carbone di 10000 kg ciascuno sono tenuti fermi in miniera su un binario inclinato di 30° per mezzo di
un
cavo parallelo al piano del binario. si è osservato un allungamento del cavo di 0.15m un instante prima che cadesse il
gancio
fra i due vagoni inferiori, lasciando cosi libero di scendere per il piano inclinato l'ultimo vagone. Ammettendo che il cavo
obbedisca alla legge di Hooke, trovate:
la frequenza e l'ampiezza delle oscillazioni indotte nei due vagoni rimanenti.

per il primo punto non ho avuto problemi mentre per il secondo avevo deciso di provare a risolverlo tramite alcune considerazioni sulle energie, ponendo che quando i due blocchi quando erano nel punto più basso del piano inclinato avessero velocità 0 poichè i blocchi a quel punto sarebbe tornati in alto.
avevo deciso di porre convenzionalmente h=0 proprio qua nel punto più basso.
quindi l'unica energia che avrei in questo istante sarebbe quella della molla.
però ora non saprei cosa fare con ciò che ho detto.

altrimenti avrei pensato di risolvere il secondo punto tramite la legge di NEWTON, scrivendo la massima estensione verso il basso della molla come $ -Fp+kX=0 => 2mgsin(30)=KX => X=Xm=(2mgsin(30))/K $ avendo ricavato K dal primo punto.
In questo modo però andrei a dire che l'accelerazione è uguale a zero nel punto più basso e ciò non credo sia vero.

Grazie dell'aiuto.

[Silence]

Provo a risponderti io, premettendo però di non essere neanche lontanamente un esperto, perciò prendi quel che dico con i guanti, sperando che qualcuno possa correggermi eventuali errori.

1) non necessariamente. Se la tua quota zero è l'altezza della massa quando il sistema è in equilibrio, l'energia potenziale è solo elastica (se invece non lo fosse invece sì, la massa acquisirebbe un'energia potenziale che andrebbe sommata al resto). Ciò che cambia invece è l'energia a riposo del sistema: nel piano orizzontale (assumendolo privo di attrito) è nulla, in quello verticale no, poiché in funzione della forza peso applicata alla massa la molla è parzialmente distesa, dunque possiede energia potenziale elastica.

2) ripeto la premessa: prendi ciò che dico con guanti di velluto.

io lo risolverei partendo da appena prima che il cavo si spezzi. Il sistema è naturalmente in equilibrio, il che significa che il cavo esercita sul SECONDO carrello (quello di mezzo) una tensione che a sua volta è determinata dalla forza $ F=mgsinalpha $ del terzo carrello, assumendo il piano come perfettamente liscio.

ammesso che tu possa considerare i rimanenti carrelli come un sistema $ m_1+m_2 $, quando il cavo si spezza il sistema riceve un impulso che determinerà quindi una variazione della quantità di moto. puoi trovare facilmente la velocità con cui "singhiozza" verso l'alto considerato che inizialmente la quantità di moto era nulla. a questo punto, con la conservazione dell'energia, ti calcoli le $ Deltax $ della molla (che impedisce a $ m_1+m_2 $ di scivolare di sotto. Attento, che lei ha già la sua, di energia potenziale elastica, è distesa per effetto della forza peso dei due carrelli) per cui l'energia è tutta potenziale elastica (cioè, come dicevi tu, quando $ v=0 $. NB: nell'energia cinetica $ v $ è al quadrato, dunque appunto otterrai due risultati, uno positivo e uno negativo (rispetto al tuo centro di equilibrio iniziale), e la loro differenza sarà l'ampiezza delle oscillazioni.

Il mio unico dubbio in questo scenario è che la forza peso costituisce una forzante, ma siccome il suo modulo è costante e per metà oscillazione smorza mentre per l'altra metà amplifica, *credo* (e sottolineo CREDO), che il suo contributo netto sia nullo perchè appunto è costante nel tempo.

Se invece NON puoi considerare i due carrelli rimasti come un sistema, le cose si complicano, perché avrai oscillazioni sfasate tra l'uno e l'altro che interferiranno nei reciproci moti e onestamente credo che provandoci creerei solo problemi.

Spero di esserti stato utile almeno in parte ( e di non aver detto troppe stupidaggini).

[Vulplasir]

Riguardo al punto 1), la forza peso, essendo costante nel tempo, non influisce in nessun modo sulle oscillazioni del sistema, ciò che fà è solo spostare il punto di equilibrio del sistema di una quantità pari a mg/k, quindi puoi scrivere il bilancio energetico rispetto a questo punto di equilibrio senza considerare l'energia potenziale della forza peso

[matteo_g]

Riguardo al punto 1), la forza peso, essendo costante nel tempo, non influisce in nessun modo sulle oscillazioni del sistema, ciò che fà è solo spostare il punto di equilibrio del sistema di una quantità pari a mg/k, quindi puoi scrivere il bilancio energetico rispetto a questo punto di equilibrio senza considerare l'energia potenziale della forza peso

grazie ad entrambi per la risposta, ma non mi torna il fatto che non devo considerare l'energia potenziale gravitazionale se il sistema blocco-molla è verticale. immaginiamo di avere una molla attaccata ad un soffitto ed attaccato all'altra estremità un peso, e prendiamo come h=0 per convezione il punto in cui la molla è completamente distesa (è nella parte più bassa intendo, non nel punto di riposo).Ora poniamoci nel momento in cui la molla è compressa, ossia è nel punto più vicino al soffitto, ed io voglia scrivere l'energia meccanica in quell'istante io direi che $ Emec=Ugravitaz.+Uelas $ (elas sta per la molla). chiaramente non ho messo anche K (ENERGIA CINETICA) perchè nel punto in cui la molla è completamente compressa la velocità è zero.

potreste farmi capire perchè in questo cosa va o non va bene considerare l'energia potenziale gravitazionale? grazie !!!!

[matteo_g]

in questo modo io ci ho svolto anche alcuni problemi e mi tornare, perciò mi pare ancora più strano

[Vulplasir]

Va bene farlo anche come hai fatto tu. Il fatto è che la formula $E=1/2kX_M^2$ è valutata rispetto allo spostamento dalla posizione di equilibrio. Che ci sia o non ci sia la forza peso, il sistema oscillerà rispetto alla sua posizione di equilibrio, quando te vedi l'equazione di un sistema che oscilla armonicamente rispeto a una posizione di equilibrio, non sai se quel sistema è libero o su di lui agisce una forza costante, e non ti interessa saperlo, ti basta solo sapere che oscilla attorno a una posizione di equilibrio, metterci la forza peso cambia solo la posizione di equilibrio del sistema, la l'ampiezza delle oscillazioni, la frequenza etc rimangono invariate, quindi rimane invariata anche l'espressione dell'energia totale del sistema.

Per farti capire meglio, considera una molla verticale appesa al soffitto su cui è attaccata una massa $m$, rispetto alla posizione indeformata della molla, il sistema si troverà in equilibrio quando la molla sarà alungata di un $x_0$ tale che:

$kx_0=mg$

Ossia se prendi questa molla verticale con la massa appesa, e la "lasci ferma", essa starà ferma con la molla allungata di $x_0$ rispetto alla sua lunghezza di riposo.

Consideriamo ora di far oscillare il sistema, prendiamo la quota dello zero parallela al punto in cui la molla è indeformata, e prendiamo un asse y rivolto verso il basso, in un certo punto $y$ possiamo scrivere l'energia potenziale come:

$U=1/2ky^2-mgy$

Ma possiamo anche scrivere: $y=x_0+z$ con $z$ la distanza del punto $y$ dalla posizione di equilibrio, quindi:

$U=1/2k(x_0+z)^2-mg(x_0+z)=1/2kx_0^2+1/2kz^2+kx_0z-mgx_0-mgz=1/2kz^2+z(kx_0-mg)+1/2kx_0^2-mgx_0$

Ma $kx_0=mg$ e inoltre $x_0$ è una costante, quindi l'energia potenziale, a meno di una costante, si reduce a $1/2kz^2$

[matteo_g]

Va bene farlo anche come hai fatto tu. Il fatto è che la formula $E=1/2kX_M^2$ è valutata rispetto allo spostamento dalla posizione di equilibrio. Che ci sia o non ci sia la forza peso, il sistema oscillerà rispetto alla sua posizione di equilibrio, quando te vedi l'equazione di un sistema che oscilla armonicamente rispeto a una posizione di equilibrio, non sai se quel sistema è libero o su di lui agisce una forza costante, e non ti interessa saperlo, ti basta solo sapere che oscilla attorno a una posizione di equilibrio, metterci la forza peso cambia solo la posizione di equilibrio del sistema, la l'ampiezza delle oscillazioni, la frequenza etc rimangono invariate, quindi rimane invariata anche l'espressione dell'energia totale del sistema.

Per farti capire meglio, considera una molla verticale appesa al soffitto su cui è attaccata una massa $m$, rispetto alla posizione indeformata della molla, il sistema si troverà in equilibrio quando la molla sarà alungata di un $x_0$ tale che:

$kx_0=mg$

Ossia se prendi questa molla verticale con la massa appesa, e la "lasci ferma", essa starà ferma con la molla allungata di $x_0$ rispetto alla sua lunghezza di riposo.

Consideriamo ora di far oscillare il sistema, prendiamo la quota dello zero parallela al punto in cui la molla è indeformata, e prendiamo un asse y rivolto verso il basso, in un certo punto $y$ possiamo scrivere l'energia potenziale come:

$U=1/2ky^2-mgy$

Ma possiamo anche scrivere: $y=x_0+z$ con $z$ la distanza del punto $y$ dalla posizione di equilibrio, quindi:

$U=1/2k(x_0+z)^2-mg(x_0+z)=1/2kx_0^2+1/2kz^2+kx_0z-mgx_0-mgz=1/2kz^2+z(kx_0-mg)+1/2kx_0^2-mgx_0$

Ma $kx_0=mg$ e inoltre $x_0$ è una costante, quindi l'energia potenziale, a meno di una costante, si reduce a $1/2kz^2$

Grazie mille della risposta, sei stato molto molto chiaro, credo di aver capito. Non mi rimane che provare negli esercizi. grazie!!