[Esercizio sulla conservazione del quadri-momento]

[Snakelemma]

Buon pomeriggio, sto ragionando su questo quesito di relatività speciale.. ho risolto il punto a) ma non riesco a risolvere i punti b) e c). C'è qualcuno che può darmi una mano?

Un positrone $ e^+ $ di massa m ed energia cinetica K si annichila su un bersaglio che contiene elettroni $ e^- $ (con la stessa massa m) che sono praticamente fermi nel sistema del laboratorio:

$ e^+ $ (veloce) + $ e^- $ (fermo) $ \rightarrow $ radiazione

a) Analizzando questo processo nel sistema del centro di massa della reazione (il sistema di riferimento in cui la quantità di moto totale delle particelle iniziali è uguale a zero), dimostrare che è necessario che in questa annichilazione vengano creati almeno due raggi gamma (e non uno solo).

b) Ritornando ad esaminare la reazione nel sistema di riferimento del laboratorio, considerare il caso in cui i due fotoni si propagano nella stessa direzione in cui inizialmente si propagava il positrone. Trovare un’espressione per l’energia di ciascuno dei fotoni emessi (fare in modo che la risposta non contenga alcun riferimento alla velocità).

c) Facendo uso di semplici approssimazioni, calcolare la risposta alla domanda b nei due casi limite: (1) K molto piccolo e (2) K molto grande. (Molto piccolo e molto grande rispetto a cosa?)

[Shackle]

Ciao. Ho dato un'occhiata al tuo esercizio. Io farei cosi.

Nel sistema del laboratorio , il positrone $e^+$ ha 4-impulso :

$P_1 = (E/c, vecp) = ( (mc^2 + K)/c , vecp) $ , in cui è nota l'energia cinetica $K= (gamma-1)mc^2 $

l'elettrone in quiete $e^-$ ha 4-impulso : $ P_2 = (mc,0)$

Quindi il 4-impulso totale , nel sistema del laboratorio , vale : $ P = P_1 + P_2 = (2mc + K/c , vecp) $

Siccome il 4-impulso si deve conservare , la risposta al quesito a) è (relativamente) facile : nel riferimento del centro di momento (da te definito correttamente) , la q.d.m. spaziale totale dovrebbe essere nulla . Perciò, se si producesse un solo fotone, esso dovrebbe portare soltanto energia, ma non impulso spaziale. E questo non è possibile : un fotone porta energia e impulso in qualsiasi riferimento lo si consideri, non per niente la sua velocità è sempre $c$ in tutti i riferimenti . Insomma, un fotone non può avere impulso nullo.

Dunque , si producono (almeno) due fotoni $gamma$ ( NB : questo non è il fattore di Lorentz del positrone, è il simbolo che si dà al fotone ) . Ciascuno di essi ha 4-impulso :

$(E_gamma/c , E_gamma/c) $

Per la conservazione dell'energia , deve quindi essere :

$2mc + K/c = 2 E_gamma/c$

e questa espressione ti permette di ricavare $E_gamma$ , essendo note le quantità al primo membro, dove compaiono massa ed energia cinetica del positrone.

Che cosa vuol dire , ora , $K$ molto piccolo ? Vuol dire che il fattore $gamma$ del positrone si può approssimare con :

$gamma = (1-(v/c)^2)^(-1/2) = \approx 1 + 1/2(v/c)^2$

perciò , visto che l'energia cinetica relativistica è data da : $K = (gamma-1)mc^2$ , si ha , con l'approssimazione detta ( ometto le sostituzioni e i passaggi, ma puoi farli tu ) :

$K =\approx 1/2mv^2$

ed è logico, questa non è altro che l' espressione dell'energia cinetica classica quando la velocità $v$ è piccola rispetto a $c$ .

Perciò , per $K$ molto piccolo ( nel senso prima detto ) deve aversi ( anche qui ometto i passaggi ) :

$E_gamma = mc^2 + 1/4 mv^2 = mc^2 + 1/2K$

Viceversa , quando $K$ è "molto grande" ( sono d'accordo con te, non è tanto chiaro questo modo di esprimersi) , si dovrebbe avere, per il positrone : $beta = \approx 1$

E siccome, in generale, si ha :

$gammabeta = p/(mc)$

si dovrebbe avere, sempre per il positrone : $gamma\approx p/(mc) $ (*) , da cui :

$K = (gamma-1) mc^2 =........=\approx pc-mc^2$

perciò , per ciascun fotone prodotto : $E_\gamma/c =\approx mc + 1/2K/c =.........=1/2mc +1/2p $

da cui : $E_\gamma = 1/2(mc^2 + pc) $

Esprimi pure il tuo parere. Sono un po' perplesso su quest'ultima parte (K molto grande ) .

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(*) Nota che questa approssimazione s trova anche da : $gamma = E/(mc^2) = sqrt(p^2 + (mc)^2)/(mc) $ , trascurando sotto radice la quantità $mc$ rispetto a $p$ . Infatti risulta : $gamma\approx p/(mc)$ .