Problema di scattering- quantistica

[Nattramn16]

Ciao a tutti.
Vorrei fare una domanda circola risoluzione di un problema.
Ecco il testo:
Sia data una particella di massa m proveniente da $ x=+infty $ con energia E > 0 che urta contro il potenziale unidimensionale della forma
$ V(x)={ ( infty ),( \Omega\delta(x) ):} $
il valore infinito lo si ha per
$ x<= -a $ e il secondo valore lo si ha per $ x> -a $

Io ho posto come soluzioni le seguenti
$ { ( Ae^(ikx)+e^(-ikx) ),( De^(ikx) ):} $ (la prima per x>0 e la seconda per x<0).

Ho quindi considerato lo scattering da destra, e ho quindi messo il coefficiente dell'ampiezza dell'onda incidente a 1 e il coefficiente dell'onda incidente da sinistra l'ho messo a 0. Rimangono quindi A e D che sarebbero rispettivamente i coefficienti di riflessione e di trasmissione.

E' giusto scrivere la soluzione così? io pensavo di si, ma a quanto pare no, perché procedendo nella risoluzione del problema mi veniva che la funzione d'onda tra 0 e -a era nulla (cosa sbagliata).

Guardando le soluzioni, ho trovato che avrei dovuto considerare come soluzioni le seguenti
$ { ( Ae^(ikx)+e^(-ikx) ),( Dsin(kx+\delta) ):} $

Non capisco come mai Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie mille

[v3ct0r]

E' da un bel po' che non faccio esercizi sullo scattering, tuttavia...

Ho quindi considerato lo scattering da destra, e ho quindi messo il coefficiente dell'ampiezza dell'onda incidente a 1 e il coefficiente dell'onda incidente da sinistra l'ho messo a 0.

...secondo me il problema è proprio questo. Cioè, il coefficiente dell'onda incidente "da sinistra" non puoi metterlo uguale a zero, perchè rappresenta l'onda riflessa dalla barriera infinita di potenziale.

Per quanto riguarda la forma della soluzione, hai visto che nei due intervalli $-a<x<0$ e $x>0$ l'equazione di Schrodinger assume la forma di un'equazione per l'oscillatore armonico $-h^2/{2m} d^2/dx^2 psi = E psi$

E la soluzione la puoi scrivere indifferentemente in forma

$psi = alpha sin(kx) + beta cos(kx) = gamma sin(kx+delta)$ oppure
$psi = alpha e^{ikx} + beta e^{-ikx}$

Io penso che il libro abbia semplicemente scelto di usare la prima forma per l'intervallo $-a<x<0$ e la seconda per l'intervallo $x>0$, probabilmente per motivi legati alle condizioni al contorno che dovrai poi imporre sulla funzione e sulla derivata.
Ti convince?

[Nattramn16]

ciao V3ct0r, grazie ancora una volta per la risposta.
Dunque... provo a spiegarmi un po' meglio circa il perché ho posto a 1 e a 0 rispettivamente i coefficienti delle onde incidenti da destra e sinistra.
(Metto un disegno)

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

(con conseguente errata corrige di quello che avevo scritto prima, evidentemente ieri ero rimbambita e ho messo dentro degli errori).
Il coefficiente A , che è l'ampiezza dell'onda incidente l'ho messo a 1 perché tanto non influisce sul valore di R o T, e invece ho messo a 0 il parametro C che mi da l'ampiezza dell'onda incidente da sinistra. Io sto considerando lo scattering da destra, quindi non voglio un'onda che incida da sinistra.
Comunque quindi il considerare la soluzione con gli esponenziali o con il seno va un po' a seconda delle condizioni al contorno?
Non è che ci sono dei casi in cui una è ''più corretta da usare che l'altra''?

[v3ct0r]

Il coefficiente A , che è l'ampiezza dell'onda incidente l'ho messo a 1 perché tanto non influisce sul valore di R o T

Ah sì, non preoccuparti, quello l'avevo intuito. Però attenta, non è che $A$ sia ininfluente, semplicemente puoi raccoglierlo come fattore di fase costante e così ti ritrovi $e^{-ikx} + B/A e^{ikx}$
A questo punto $B/A$ puoi rinominarlo $sqrt(R)$, dove $R=B^2/A^2$ è il coefficiente di riflessione. Non è per fare il pignolo, voglio solo evitare fraintendimenti

e invece ho messo a 0 il parametro C che mi da l'ampiezza dell'onda incidente da sinistra. Io sto considerando lo scattering da destra, quindi non voglio un'onda che incida da sinistra.

Ok, però l'onda $Ce^{ikx}$ ce l'hai comunque, non puoi annullarla, perchè come ti dicevo $Ce^{ikx}$ sarebbe l'onda $De^{-ikx}$ dopo che è stata riflessa dalla barriera infinita di potenziale sulla sinistra.

Possiamo raccontarla in questo modo (può sembrarti banale, ma io quando ragiono su questi problemi faccio veramente così ): l'onda $Ae^{-ikx}$ arriva da destra. Una componente $Be^{ikx}$ viene riflessa dalla delta di potenziale, mentre una parte $De^{-ikx}$ viene trasmessa attraverso la delta (effetto tunnel!). A questo punto l'onda $De^{-ikx}$ va a sbattere contro la barriera infinita di potenziale e viene riflessa creando l'onda $Ce^{ikx}$

In altre parole, la tua idea di ignorare l'onda $Ce^{ikx}$ incidente da sinistra sarebbe corretta se non ci fosse la barriera infinita di potenziale, e quindi se $De^{-ikx}$ potesse continuare a propagarsi allegramente verso sinistra
Ma siccome a un certo punto $De^{-ikx}$ sbatte contro la barriera, alla fine ti ritrovi comunque un'onda $Ce^{ikx}$ incidente da sinistra, anche se all'inizio non era presente (perchè come hai detto giustamente stai considerando solo lo scattering da destra)

Comunque quindi il considerare la soluzione con gli esponenziali o con il seno va un po' a seconda delle condizioni al contorno?

Essenzialmente sì

Non è che ci sono dei casi in cui una è ''più corretta da usare che l'altra''?

No, a livello di correttezza non c'è differenza, è solo questione di convenienza. In certi casi usare una forma piuttosto che l'altra semplifica i calcoli successivi. Insomma, anche usando la forma esponenziale invece di quella sinusoidale il risultato alla fine sicuramente ti verrebbe lo stesso (a patto però che aggiungi anche il "pezzo mancante" $Ce^{ikx}$ )

[Nattramn16]

Non preoccuparti, meglio essere puntigliosi che superficiali e non intendersi.

Dunque, la ''storiella'' che usi per ragionare mi ha fatto in effetti capire che ho sbagliato a annullarmi brutalmente la C (perché in effetti questa viene riflessa dalla barriera infinita che c'è in -a ( presterò più attenzione )

Ora ho capito dove facevo l'errore.
Grazie mille per la spiegazione semplice, ma efficace !!