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Questo è il testo dell'esercizio:
Una f.e.m. autoindotta in un solenoide di induttanza L cambia nel tempo come $ \varepsilon = \varepsilon_0 e^(-kt) $ .
Si trovi la carica totale che attraversa il solenoide, assumendo che abbia valore finito.

Allora, io ho pensato che la f.e.m. autoindotta si calcola: $ \varepsilon = -L(di)/ dt $
Mentre la corrente: $ i = (dQ)/(dt) $
(Questo mi è sembrato l'unico modo per collegare la f.e.m. alla carica Q)
Unendo le due formule trovo che: $ -\varepsilon /L = (d^2Q)/(dt^2) $
Risolvendo facendo due volte l'integrale in dt (e integro in modo indefinito, perché non saprei che estremi metterci), però non credo sia giusto. Facendo il primo integrale mi salta fuori una costante arbitraria c, e poi integrando di nuovo questa costante diventa ct e salta fuori un'altra costante ancora. Inoltre così facendo mi porto dietro sempre la t, mentre il risultato finale non deve dipendere da t.
[Dovrebbe risultare: $ Q=(\varepsilon_0)/(LK^2) $ ]

Credo di star commettendo un qualche errore di ragionamento, legato al calcolo integrale.

Grazie in anticipo.

Ovviamente la carica che attraversa il solenoide dipende dall'intervallo di tempo considerato, è per questo che ci trovi una costante...se il tuo libro non da indicazioni sull'intervallo di tempo allora forse intende da $t=0$ a $t=oo$

... e visto che la carica deve essere finita, significa che ci dovrà essere una $i_L(0)\ne0$, facilmente ricavabile.



Edit: Se vuoi seguire la tua strada integrativa devi partire dalla seguente

$i_L(t)=i_L(0)-\frac{1}{L} \int_{0}^{t}\epsilon(t)\text{d}t$

per poi accorgerti che, con la successiva integrazione, dovrai fare i conti con il termine costante della $i_L(t)$, che andando a far asintoticamente crescere la carica linearmente nel tempo, dovrà essere annullato (e da qui la $i_L(0)$); per poi ottenere il risultato finale.

Se vuoi invece far prima, potrai osservare che un'andamento esponenziale decrescente per la tensione su un'induttore possiamo pensarlo relativo alla scarica di un induttore carico su un resistore (di resistenza R); ne segue che per Ohm la corrente iniziale sarà

$i_L(0)=\epsilon_0/R$

mentre, per avere una carica finita, la corrente finale a regime dovrà essere nulla $i_L(\infty)=0$.

Ne segue che la variazione di flusso per t compreso fra zero e infinito sarà

$|\Delta \Phi_C|=\Phi_C(0)=Li_L(0)=\frac{L\epsilon_0}{R}$

e per la legge di Felici

visto che $K=R/L$,

$Q=\frac{|\Delta \Phi_C|}{R}=\frac{L\epsilon_0}{R^2}=\frac{\epsilon_0}{LK^2}$

Vi ringrazio entrambi, grazie ai vostri consigli sono riuscito a risolverlo e soprattutto a capirlo!