Questo è il testo dell'esercizio:
Una f.e.m. autoindotta in un solenoide di induttanza L cambia nel tempo come $ \varepsilon = \varepsilon_0 e^(-kt) $ .
Si trovi la carica totale che attraversa il solenoide, assumendo che abbia valore finito.
Allora, io ho pensato che la f.e.m. autoindotta si calcola: $ \varepsilon = -L(di)/ dt $
Mentre la corrente: $ i = (dQ)/(dt) $
(Questo mi è sembrato l'unico modo per collegare la f.e.m. alla carica Q)
Unendo le due formule trovo che: $ -\varepsilon /L = (d^2Q)/(dt^2) $
Risolvendo facendo due volte l'integrale in dt (e integro in modo indefinito, perché non saprei che estremi metterci), però non credo sia giusto. Facendo il primo integrale mi salta fuori una costante arbitraria c, e poi integrando di nuovo questa costante diventa ct e salta fuori un'altra costante ancora. Inoltre così facendo mi porto dietro sempre la t, mentre il risultato finale non deve dipendere da t.
[Dovrebbe risultare: $ Q=(\varepsilon_0)/(LK^2) $ ]
Credo di star commettendo un qualche errore di ragionamento, legato al calcolo integrale.
Grazie in anticipo.