Problema corrente indotta

[Drenthe24]

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Una bacchetta conduttrice ha lunghezza D = 20 cm e ruota con frequenza angolare $ omega $ = 0.4 rad/s attorno ad una delle sue estremità. L’altra estremità scorre su un filo conduttore circolare, di resistenza trascurabile rispetto alla resistenza R = 2 $ Omega $ , inserita tra il punto P(asse sul quale ruota la bacchetta,centro del cerchio) e il filo circolare. Tale circuito è immerso in un campo magnetico uniforme, di modulo B = 10 mT e direzione perpendicolare al piano spazzato dalla bacchetta. Si determini l’intensità della corrente indotta nel circuito, delimitato dall’arco di circonferenza e dalla bacchetta stessa, e se ne indichi il verso.

Ragazzi ho questo problema da risolvere ma non riesco a capire come..da dove devo partire? come ragiono?
non riesco ad inserire l'immagine originale ma credo si capisca(spero). Mi date una mano per cortesia? Grazie!

[RenzoDF]

La "bacchetta" ruotando taglia normalmente le linee di forza e di conseguenza viene indotta nella stessa una fem data dal prodotto fra velocità $v$, campo magnetico $B$ e lunghezza $dl$ del generico tratto elementare, relativo al generico raggio $0<r<D$.
Visto che la velocità è $v=\omega r$, avremo che la fem elementare è funzione lineare del raggio e quindi potremo considerare il suo valore medio per $r=D/2$, senza scomodare il calcolo integrale.

Chiaramente se la velocità si inverte, anche la fem si invertirà, e di conseguenza avrà un andamento alternativamente positivo e negativo (un'onda quadra) con semiperiodo T/2 pari al tempo impiegato per percorrere l'arco di cerchio $\alpha$

$T/2=\alpha/\omega$

[mgrau]

Chiaramente se la velocità si inverte, anche la fem si invertirà, e di conseguenza avrà un andamento alternativamente positivo e negativo (un'onda quadra) con semiperiodo T/2 pari al tempo impiegato per percorrere l'arco di cerchio $\alpha$

$T/2=\alpha/\omega$

E dove c'è scritto che la velocità si inverte?

[RenzoDF]

Da nessuna parte.

[Drenthe24]

Non capisco il ruolo della bacchetta...La corrente indotta come viene generata, cos'è che fa muovere la bacchetta? nel filo,che rappresenta l'asse di rotazione non scorre corrente.Praticamente ho solo un campo magnetico,uniforme, e la bacchetta che gira! Non capisco di cosa è causa o effetto questa rotazione della bacchetta.
La legge di Faraday mi dice che F.e.m. indotta è data da: $ xi =-(Delta Phi (B))/(Delta t) $ ma il flusso magnetico non mi sembra che cambia giusto?

[mgrau]

La bacchetta insieme alla resistenza e al filo circolare forma due settori circolari (due circuiti) di area variabile - una aumenta l'altra diminuisce - le due correnti hanno lo stesso verso nella bacchetta

[RenzoDF]

La bacchetta insieme alla resistenza e al filo circolare forma due settori circolari (due circuiti) ... le due correnti ...

Dove li vedi questi due circuiti?

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BTW Giusto per precisare il metodo risolutivo che stavo consigliando, intendevo riferirmi alla nota relazione

$d\xi=(\vec v \times \vec B)\cdot \vec {dl}$

che avrebbe portato ad una fem elementare media

$d\xi_m=\omega D/2B \ dl$

e quini a una

$\xi={\omega D^2 B}/2$

Usando invece la "regola del flusso" (ex FNL), puoi considerare l'area del settore circolare infinitesimo "spazzato" nel tempo dt, per calcolare la relativa variazione di flusso concatenato

$\text{d}Phi= \text{d}A \ B=( D\ \omega \text {d} t ) D/2 B$

e pervenire al medesimo risultato.
La bacchetta chiaramente deve essere messa in movimento da un soggetto esterno, che per muoverla dovrà pure fare fatica, visto che il resistore R andrà a dissipare una potenza $P=\xi^2/R$ durante la spazzolata.

[mgrau]

Dove li vedi questi due circuiti?

Quello rosso e quello blu. Uno aumenta l'area, l'altro la diminuisce. La corrente indotta nei due circuiti si somma nella bacchetta e nella resistenza. Il sistema bacchetta +resistenza appare come un generatore di fem, cortocircuitato dai due archi di cerchio in parallelo

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[RenzoDF]

... Quello rosso e quello blu.

Ok, dal disegno iniziale non avevo compreso che il conduttore completava il cerchio.

... La corrente indotta nei due circuiti si somma

Scusa ma non è la "corrente" che viene indotta bensì la fem, e l'unico tratto interessato da questa induzione è quello della bacchetta, che è l'unico tratto in movimento rispetto al campo.

[mgrau]

[
Scusa ma non è la "corrente" che viene indotta bensì la fem, e l'unico tratto interessato da questa induzione è quello della bacchetta, che è l'unico tratto in movimento rispetto al campo.

Ok, però sta di fatto che nei due circuiti passa corrente, e nella bacchetta e netta resistenza è doppia di quella che passa nel cerchio.
Ora però mi viene un altro dubbio: se il filo circolare è chiuso, come l'ho immaginato io, i circuiti nel flusso magnetico sono due, e su entrambi si induce una fem, uguale. $(dB)/(dt)$ ha lo stesso valore, segno opposto, quindi mi aspetto che la corrente nella bacchetta sia la somma dei due.
Ma se il filo non completa il cerchio, come in effetti è nella figura originale, di circuito ce n'è uno solo, e la corrente dovrebbe essere la metà.
Però, se come dici, tu la vera sorgente della fem è la bacchetta in movimento, non dovrebbe cambiare niente. E allora?