Spira con resistenza e condensatore, immersa in campo magnetico

[maurizio9016]

Salve a tutti.
Non riesco a risolvere questo esercizio:

"Una spira quadrata di lato $a=10cm$ contiene un resistore di resistenza $R=10k \Omega $ e una capacità $C=1 \mu F$ in serie ed è immersa in un campo magnetico uniforme $B_{0}=0.5T$ perpendicolare alla spira. All'istante di tempo $t_{0}=0$ il campo magnetico inizia a decrescere linearmente nel tempo fino ad annullarsi per $t_{f}=1ms$. Calcolare la f.e.m. indotta nel circuito mentre il campo magnetico varia e la carica accumulata sul condensatore al tempo $t_{f}$. Quanto vale l'energia immagazzinata dal condensatore nell'intervallo di tempo $(t_{0}, t_{f})$?"

In linea di principio il campo magnetico dovrebbe essere:
$vec B=B_{0}(1-1000t)$
Il flusso del campo magnetico in funzione del tempo dovrebbe quindi essere:
$\Phi_{B}(t)=int_S vec B cdot hat n_{e} cdot dS=B_{0}(1-1000t)S$
con la superficie della spira che è:
$S=(0.1m)^2=0.01m^2$
La forza elettromotrice indotta nel circuito mentre il campo magnetico varia è, per la Legge di Faraday:
$V(t)=-(d \Phi_{B}) / dt = -(d/dt[B_{0}(1-1000t)S]) = -B_{0}S(-1000)=1000B_{0}S=1000(0.5T)(0.01m^2)=5V$
Orbene, questa tensione non è già più dipendente dal tempo, quindi direi che non va bene.
Considerando che a $t_{0}$ il condensatore è carico, non appena il campo magnetico inizia a decrescere allora il condensatore inizia a scaricarsi con legge esponenziale, dipendente dalla costante di tempo del circuito:
$V_{C}(t)=V_{0}e^(-t/\tau)$
con:
$\tau=RC=(10000 \Omega)(1 cdot 10^(-6)F)=0.01s$
Forse la scarica del condensatore andrebbe considerata già nella legge di $vec B$?
Qual è l'approccio giusto per risolvere questo problema?
Ringrazio fin d'ora chi vorrà aiutarmi.
Maurizio

[RenzoDF]

Per quale ragione C dovrebbe essere carico per t=0

... e per quale ragione la fem dovrebbe dipendere dal tempo?

Il flusso varia linearmente e quindi la fem è costante nell'intervallo $0<t<t_f$; di conseguenza a partire da zero con C scarico avremo una salita esponenziale della tensione ai suoi morsetti che avrà termine per t=tf, momento dopo il quale causa l'annullarsi della fem, il condensatore comincerà a scaricarsi.

[maurizio9016]

Dato che la spira è immersa nel campo magnetico già da prima di $t_{0}$, ho assunto che la f.e.m. indotta nel circuito avesse già caricato completamente il condensatore. E' per questo che l'ho assunto carico all'istante $t_{0}$, e che i transitori inizino da $t_{0}$ in avanti.

[RenzoDF]

Il testo afferma che il campo inizia a decrescere per t=0 e quindi per t<0, non avendo altre informazioni, non possiamo che supporre che il circuito sia a regime in un campo magnetico B costante e di conseguenza con fem nulla e quindi con condensatore scarico.

BTW Non ha senso quotare interamente un precedente messaggio e quindi ti chiedi se cortesemente puoi cancellare il tuo quoting integrale. Grazie.

[maurizio9016]

Ho cancellato il quoting, come richiesto.
Proverò a risolvere in base alla tua interpretazione.
Grazie.