Collegio Superiore Bologna aiutooo??

[Pensierialtramonto]

Ciao a tutti, stavo provando a risolvere il test dell'anno scorso per l'ammissione al collegio superiore di Bologna ma ho trovato un problema che non sono riuscito a sbrogliare. Eccolo qui:

Si consideri uno sciatore che si lanci lungo una discesa con profilo parabolico di equazione data y=-ax2 con a
costante, partendo dall’origine. Determinare il massimo valore
della velocità iniziale dello sciatore affinchè non si stacchi dalla pista, trascurando l’effetto
degli attriti.

Ho provato a impostare il problema basandomi sullo scomporre la velocità iniziale e utilizzando la derivata prima, ma non ne cavo piede.

Per favore aiutatemiii

[mgrau]

Provo a risponderti un po' a naso...
lo sciatore, partendo con velocità data $v_0$, nel vuoto, percorrerebbe comunque una traiettoria parabolica, $y = -a'x^2$.
Si tratta di vedere per quale valore della velocità iniziale la traiettoria nel vuoto coincide con quella del pendio: secondo me, quella è la velocità richiesta dal problema. Per velocità iniziali minori, la traiettoria "naturale" è interna al pendio, quindi la reazione del pendio è verso l'esterno, lo sciatore "appoggia"; per velocità superiori no (e si stacca subito)

[dodddo]

Immagina che lo sciatore scivoli su un piano orizzontale e cada nel vuoto. Percorrerà la caduta con un moto parabolico che avrà le seguenti equazioni che vanno messe a sistema:
$x(t)=v_o*t$
$y(t)=-1/2 * g * t^2$

Il segno di $y$ è negativo perché abbiamo utilizzato il riferimento con la $y$ positiva quando è verso l'alto.

Ora trovando $t$ nella prima equazione e sostituendolo alla seconda ottieni $y(x)=-1/2 * g * x^2 / v_o ^2$

Basterà eguagliare la parabola generica appena trovata con quella data dal testo:
$-a*x^2=-1/2 * g * x^2 / v_o ^2$

ed infine trovare $v_o=sqrt(1/(2*a) * g)$

A questo punto questa è la velocità corrispondente alla tua parabola e appena $v_o>sqrt(1/(2*a) * g)$ il corpo si staccherà, quindi la formula esatta è proprio: $v_o=sqrt(1/(2*a) * g)$.

Praticamente ho formalizzato ciò che ha detto mgrau.

Spero di esserti stato d'aiuto, per ulteriori dubbi, scrivi pure

[Vulplasir]

Oppure, considerando che al limite di aderenza col terreno, l'accelerazione g deve essere pari all'accelerazione centripeta:
$g=v_0^2/r$ all'istante iniziale in condizioni limite, sapendo inoltre che il raggio di curvatura di una parabola $y=ax^2$ è $r=1/(2a)$ nel vertice, si ha il risultato.