Scusate se riapro questa discussione, ma ho un dubbio ancora attinente con Huygens-Fresnel, stavolta in forma scalare.
Se incido con un'onda piana su un piano infinito opaco ovunque tranne che in una sezione limitata lungo x:
Schema elettrico
L'integrale da risolvere è questo:
\(\displaystyle f(x,y,z)=\int_{S_a} \frac{A(x',y')e^{-jk|\underline{r}-\underline{r'}|}}{|\underline{r}-\underline{r'}|}\text{d}S \)
dove senza apici si indica il punto di osservazione e con gli apici il punto di sorgente dell'onda sferica elementare.
Approssimando secondo Fraunhofer per la fase:
\(\displaystyle |\underline{r}-\underline{r'}|=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \sim z\left (1+\frac{x^2-2xx'}{z^2}+\frac{y^2-2yy'}{z^2} \right ) \)
e per il modulo:
\(\displaystyle |\underline{r}-\underline{r'}|=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \sim z \)
si ottiene (\(\displaystyle A(x',y')=A_0 \)):
\(\displaystyle f(x,y,z) =\frac{A_0e^{-jkz}}{z}e^{-jk\frac{x^2+y^2}{2z}}\int_{x=-x_0}^{x_0} e^{jk\frac{x}{z}x'} \text{d}x' \int_{y=-\infty}^{\infty}e^{jk\frac{y}{z}y'} \text{d}y' \)
ovvero:
\(\displaystyle f(x,y,z) =2x_0\frac{A_0e^{-jkz}}{z}e^{-jk\frac{x^2+y^2}{2z}} \text{sinc}\left ( k\frac{x}{z}x_0 \right )\delta \left (k\frac{y}{z} \right ) \)
La soluzione che mi è stata invece proposta è privata della delta di dirac che compare sopra.
Non riesco bene e a vedere come si possa farne a meno togliendola di mezzo.
I casi in cui "si attiva" sono due: o guardo infinitamente lontano lungo z, o mi metto a guardare in y=0.
All'infinito il campo si è annullato, per cui ha senso considerare solo il caso y=0:
\(\displaystyle f(x,y,z) =2x_0\frac{A_0e^{-jkz}}{z}e^{-jk\frac{x^2}{2z}} \text{sinc}\left ( k\frac{x}{z}x_0 \right )\delta \left (y \right )
\)
Ma da qui comunque la delta deve rimanere, non può essere tolta magicamente.
Idee?