Campo Magnetico generato da corrente??

[Jack933]

Salve a Tutti, dunque sto guardando questo esercizio:

"Il punto P si trova a distanza R = 13,1 cm sulla bisettrice di un filo diritto di lunghezza L = 18 cm percorso da una corrente i = 58.2 mA. Calcolare l'intensità del campo magnetico presente in P."

Il disegno è il seguente:

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Ora siccome abbiamo un filo di lunghezza finita, dobbiamo necessariamente applicare la Legge di Biot-Savart, quindi avremo:

\( dB = \frac{\mu_{0}}{4\Pi }\times \frac{i \times ds\times sen\vartheta }{4\Pi } \)

In questo modo è come se avessi diviso in filo in tanti piccoli segmenti e poi facendo l'integrale di tutti questi mini-segmenti mi trovo il campo magnetico.
Le mie perplessità sono:

1) \( \vartheta \) è l'angolo tra le direzioni di r ( ovvero il vettore che va da ds a P ) e di ds. E fin qui tutto ok ma ds dove sta nel disegno? Perchè ds ha direzione tangente al filo e il verso di scorrimento della corrente. Tuttavia il filo è diritto quindi la tangente al filo dov'è? Perchè non capendo dove sta ds non capisco l'angolo \( \vartheta \) quanto vale!

2) Quando vado a fare \( B= \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0}}{4\Pi }\times \frac{i \times sen\vartheta }{4\Pi } \, ds \) gli estremi di integrazione a e b vanno da 0 a 18?

Grazie in anticipo a chi mi aiuterà !

[mgrau]

1) \( \vartheta \) è l'angolo tra le direzioni di r ( ovvero il vettore che va da ds a P ) e di ds. E fin qui tutto ok ma ds dove sta nel disegno? Perchè ds ha direzione tangente al filo e il verso di scorrimento della corrente. Tuttavia il filo è diritto quindi la tangente al filo dov'è? Perchè non capendo dove sta ds non capisco l'angolo \( \vartheta \) quanto vale!

La tangente al filo è ovviamente la direzione stessa del filo, e $ds$ rappresenta un pezzettino del filo...

2) Quando vado a fare \( B= \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0}}{4\Pi }\times \frac{i \times sen\vartheta }{4\Pi } \, ds \) gli estremi di integrazione a e b vanno da 0 a 18?

Direi fra -9 e +9. Ma poi devi anche esprimere $sin theta$ come funzione di $s$

[Jack933]

1) \( \vartheta \) è l'angolo tra le direzioni di r ( ovvero il vettore che va da ds a P ) e di ds. E fin qui tutto ok ma ds dove sta nel disegno? Perchè ds ha direzione tangente al filo e il verso di scorrimento della corrente. Tuttavia il filo è diritto quindi la tangente al filo dov'è? Perchè non capendo dove sta ds non capisco l'angolo \( \vartheta \) quanto vale!

La tangente al filo è ovviamente la direzione stessa del filo, e $ds$ rappresenta un pezzettino del filo...

2) Quando vado a fare \( B= \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0}}{4\Pi }\times \frac{i \times sen\vartheta }{4\Pi } \, ds \) gli estremi di integrazione a e b vanno da 0 a 18?

Direi fra -9 e +9. Ma poi devi anche esprimere $sin theta$ come funzione di $s$

1) Però scusami se insisto se la tangente al filo è la direzione stessa del filo allora non è più tangente ma parallela... ds dovrebbe esssere tangente perchè tocca il filo in un punto e uno soltanto non in tutti i punti... non so se mi sono spiegato...

2) E perchè da -9 a 9? Mi sfugge il senso... Ho applicato sempre Biot-Savart alle spire circolari e li gli estremi di integrazione andavano da 0 a \( 2\Pi r \) per via appunto della circonferenza. Ma qui non capisco il tuo ragionamento !
Per esprime $sin theta$ come funzione di $s$ come faccio ? e poi se ds ha la stessa direzione del filo allora \( sen\vartheta =1 \) poichè l'angolo tra ds e r sarebbe di 90° no?

Grazie ancora !

[mgrau]

1) Però scusami se insisto se la tangente al filo è la direzione stessa del filo allora non è più tangente ma parallela... ds dovrebbe esssere tangente perchè tocca il filo in un punto e uno soltanto non in tutti i punti... non so se mi sono spiegato...

No, non ti sei spiegato... la tangente ad una retta coincide con la retta. Non so immaginarmi che idea di tangente hai, ma il fatto che tocchi in un solo punto non direi che sia essenziale... forse, in generale, si può dire che una tangente tocca, ma non attraversa.

2) E perchè da -9 a 9? Mi sfugge il senso... Ho applicato sempre Biot-Savart alle spire circolari e li gli estremi di integrazione andavano da 0 a \( 2\Pi r \) per via appunto della circonferenza. Ma qui non capisco il tuo ragionamento !
Per esprime $sin theta$ come funzione di $s$ come faccio ? e poi se ds ha la stessa direzione del filo allora \( sen\vartheta =1 \) poichè l'angolo tra ds e r sarebbe di 90° no?

Guardando meglio il tuo integrale, devo dire che non lo capisco... ci sono dei $4pi$ di troppo, e non compare niente che rappresenti la distanza dal filo, un po' strano... ci dici che legge hai applicato, esattamente?

[Jack933]

1) Però scusami se insisto se la tangente al filo è la direzione stessa del filo allora non è più tangente ma parallela... ds dovrebbe esssere tangente perchè tocca il filo in un punto e uno soltanto non in tutti i punti... non so se mi sono spiegato...

No, non ti sei spiegato... la tangente ad una retta coincide con la retta. Non so immaginarmi che idea di tangente hai, ma il fatto che tocchi in un solo punto non direi che sia essenziale... forse, in generale, si può dire che una tangente tocca, ma non attraversa.

2) E perchè da -9 a 9? Mi sfugge il senso... Ho applicato sempre Biot-Savart alle spire circolari e li gli estremi di integrazione andavano da 0 a \( 2\Pi r \) per via appunto della circonferenza. Ma qui non capisco il tuo ragionamento !
Per esprime $sin theta$ come funzione di $s$ come faccio ? e poi se ds ha la stessa direzione del filo allora \( sen\vartheta =1 \) poichè l'angolo tra ds e r sarebbe di 90° no?

Guardando meglio il tuo integrale, devo dire che non lo capisco... ci sono dei $4pi$ di troppo, e non compare niente che rappresenti la distanza dal filo, un po' strano... ci dici che legge hai applicato, esattamente?

1) Forse ho un concetto diverso di tangente perchè penso alla tangente a una circonferenza, dove appunto tocca la circonferenza in un punto...

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Tipo qui per intenderci...

2) Per quanto riguarda l'integrale hai ragione ho sbagliato a scrivere, applico l'integrale alla legge di Biot-Savart che ho citato prima dunque dovrebbe venire così se non sbaglio: \( B= \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0}}{4\Pi }\times \frac{i \times sen\vartheta }{r^2} \, ds \) dove r è la distanza dal filo appunto... La cosa che continuo a non capire è perchè gli estremi di integrazione vanno da -9 a +9?
Altra domanda nell'integrale qua sopra il seno è pari a 1? Perchè se \( \vartheta =90° \) , visto che ds segue la direzione del filo ed r è perpendicolare al ds allora il seno verrà pari a 1.

[mgrau]

Lasciamo perdere la tangente che, in fondo, non ci interessa.
Guarda la figura

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

$ds$ è un pezzettino di filo, percorso dalla corrente $i$.
$r$ è la distanza fra $ds$ e $P$. $theta$ è l'angolo fra il filo e il segmento che unisce $ds$ e $P$.
Nel tuo integrale, si ha: $sin theta = R/r = R/sqrt(R^2 + s^2)$ quindi l'integrando diventa $(i * R)/(R^2 + s^2)^(3/2)$
L'integrale è su $ds$ con i limiti -9 e +9

[Jack933]

Lasciamo perdere la tangente che, in fondo, non ci interessa.
Guarda la figura

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$ds$ è un pezzettino di filo, percorso dalla corrente $i$.
$r$ è la distanza fra $ds$ e $P$. $theta$ è l'angolo fra il filo e il segmento che unisce $ds$ e $P$.
Nel tuo integrale, si ha: $sin theta = R/r = R/sqrt(R^2 + s^2)$ quindi l'integrando diventa $(i * R)/(R^2 + s^2)^(3/2)$
L'integrale è su $ds$ con i limiti -9 e +9

Buongiorno grazie della risposta, allora ho delle domande sul tuo messaggio che sono:
1) ma r (ovvero la distanza tra P e ds) l'hai preso agli estremi del filo o in un punto qualsiasi del filo perchè se l'hai preso agli estremi del filo nell'integrale che verrà \( B= \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0}}{4\Pi }\times \frac{i \times R }{(R^2+s^2)^\frac{3}{2}} \, ds \) cosi facendo al posto di s che quantità inserisco?

2) ma perchè gli estremi sono 9 e -9? il filo è lungo 18 cm che senso ha dire che va da 9 ( cioè il punto P perchè si trova sulla bisettrice del filo) fino a -9? E' un numero negativo, il filo va da 0 a 18

[mgrau]

1) ma r (ovvero la distanza tra P e ds) l'hai preso agli estremi del filo o in un punto qualsiasi del filo perchè se l'hai preso agli estremi del filo nell'integrale che verrà \( B= \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0}}{4\Pi }\times \frac{i \times R }{(R^2+s^2)^\frac{3}{2}} \, ds \) cosi facendo al posto di s che quantità inserisco?

$r$ è la distanza fra P e ds, teorema di Pitagora, $sqrt(R^2 + s^2)$ se indichiamo con $s$ la distanza fra $ds$ e il piede della perpendicolare (perchè insisti a chiamarla bisettrice?) calata da P sul filo

2) ma perchè gli estremi sono 9 e -9? il filo è lungo 18 cm che senso ha dire che va da 9 ( cioè il punto P perchè si trova sulla bisettrice del filo) fino a -9? E' un numero negativo, il filo va da 0 a 18

Gli estremi sono -9 e +9 se prendiamo l'origine nel centro del filo: 9 cm a destra e 9 cm a sinistra.
E che vuol dire "9, cioè il punto P"? Il punto P non si trova sul filo, la sua proiezione sul filo ha semmai s = 0. +9 è l'estremo destro, -9 l'estremo sinistro.