Campo elettrico su lastra piana

[Lucenzo]

Salve, devo risolvere il seguente problema:
Una lastra piana di materiale non conduttore ha spessore 2d piccolo rispetto alle altre due dimensioni. Si introduce un sistema di coordinate cartesiane con l'asse x allineato con lo spessore della piastra e con l'origine al centro di questa. Sulla piastra è presente una densità di carica volumetrica ρ(x)=-ρ0 nella regione con -d<x<0 e ρ(x)=+ρ0 nella regione con 0<x<d, con ρ0 costante positiva. Determinare il campo elettrico E in funzione di x per −d<x<0,0<x<d e nelle regioni esterne alla piastra.

Guardando la soluzione sono rimasto perplesso. Si utilizza il principio di sovrapposizione (e fin qui c'ero arrivato), considerando una distribuzione di carica alla volta, e poi si utilizza il teorema di Gauss (alla fine sommerò le componenti del campo, e qui ok). Mi riferisco, qui, solo al calcolo relativo alla prima distribuzione (per la seconda è analogo).
Per il calcolo del campo con x>d e x<0 non ci sono problemi, ma quello che non mi torna è il calcolo con 0<x<d (cioè se piazzo una carica in mezzo alla distribuzione); non dovrebbe essere $E=ρx/(εo)$ (componente sull'asse x)? Invece nelle soluzioni risulta diversamente:
$E=2ρ(x-d/2)/(εo)$
Vi ringrazio per l'aiuto in anticipo e vi allego la soluzione con l'immagine relativa al problema. Se c'è bisogno di altre informazioni oppure ho sbagliato a impostare il topic, vi prego di dirmelo!

[mgrau]

Ti suggerisco una soluzione completamente discorsiva. Chissà se questo approccio ti piace...
Capita questa, la trasformazione nelle formule canoniche è facile.
Allora: la lastra è di fatto formata da due lastre, una positiva, una negativa.
Al di fuori delle lastre, cioè, sia per x > d che per x < -d, che anche per x = 0 le lastre si comportano come un piano - lo spessore non importa, e la distanza non importa. La carica dei piani è quella totale delle lastre. Quindi: il campo per x = 0 è quello che si avrebbe fra due piani con cariche opposte.
Per x > d e x < -d il campo è nullo.
Per i punti fra d e -d, il campo si raccorda linearmente fra il valore massimo al centro e il valore nullo agli estremi.
Graficamente, si ha una linea coincidente con lo zero al di fuori di -d, +d, e ha l'aspetto di un tetto a due falde nella parte centrale. La direzione è sempre dal + al -

[Lucenzo]

Grazie per la risposta!
Il ragionamento fila, però continuo a non spiegarmi perché algebricamente ciò sia vero.
Cioè, prendendo un cilindro come superficie, mi risulta che
$2EA=ρV/(εo)=ρA2d/(εo)$,
in cui il 2 a sinistra è perché considero le due basi del cilindro (unici pezzi il cui vettore area è parallelo risp. al campo) e 2d a destra è lo spessore della parte di lastra inglobata nel cilindro.
Ho cominciato da poco questa parte quindi non ho ancora molta dimestichezza.

[mgrau]

Per il calcolo del campo con x>d e x<0 non ci sono problemi,

Guarda che lo zero è nel mezzo della lastra, cioè cariche positive per x > 0, negative per x < 0

ma quello che non mi torna è il calcolo con 0<x<d (cioè se piazzo una carica in mezzo alla distribuzione); non dovrebbe essere $E=ρx/(εo)$ (componente sull'asse x)?

Ti è chiaro che il campo è massimo al centro? Per x = 0? Allora E non può essere proporzionale a x. E è proporzionale alle cariche esterne all'intervallo x,-x non a quelle interne

[Lucenzo]

Perché a quelle esterne?

[mgrau]

Le cariche esterne sono equivalenti a due piani che racchiudono il punto, e producono un campo diverso da zero.
Quelle interne sono equivalenti a due piani rispetto ai quali il punto è esterno, e il loro campo è nullo

[Lucenzo]

Però se io considero una distribuzione alla volta e prendo un cilindro con la base concentrica al punto da analizzare, considero le cariche interne al cilindro no?

[mgrau]

Però se io considero una distribuzione alla volta e prendo un cilindro con la base concentrica al punto da analizzare, considero le cariche interne al cilindro no?

Non capisco come vuoi prendere questo cilindro, puoi mettere una figura?

[Lucenzo]

Ecco qui.

[mgrau]

Sono io che vedo male, o quelle frecce, che immagino rappresentino i vettori del campo elettrico, sono paralleli alla lastra?
E, se non lo sono, proprio non capisco che direzione hanno