Esercizio: Forza su una spira

[franzcecco]

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Salve,
posto una foto dell'esercizio altrimenti non saprei da dove iniziare a spiegare il problema =). Mi lasciano perplesse alcune considerazioni geometriche riguardo alla seconda legge di laplace per il calcolo della forza. Essendo il campo costante dove vi è la spira dovrei considerare lo scalare tra lo spostamento infinitesimo della corrente e il campo magnetico a meno della corrente i costante. Dato che è già scomposto posso valutare il dF, che mi si ridurrebbe comunque dopo qualche calcolo ad una componente sull'asse z "presa due volte" se considero metà circonferenza, dato che i contributi dell'asse y sono uguale e opposti. Ecco il primo mio dubbio: precedentemente mi è stato fatto notare che lo spostamento infinitesimo non sarebbe altro che la distanza che unisce i due punti dello spazio, e che quindi anche per una curva qualsiasi bastava considerare quella minima distanza che unisce i due punti e non effettivamente la lunghezza della curva. Difatto su una linea chiusa questo spostamento dovrebbe essere nullo, ma se considero metà circonferenza dovrebbe essere 2R, come ho ipotizzato. Il risultato invece prevede un fattore pi greca, come se stesse calcolando la lunghezza effettiva di metà circonferenza. Dove sbaglio? Devo considerare in generale la lunghezza effettiva del tratto o lo spostamento?

[mgrau]

Non ho capito che problemi ti fai, e anche meno le tue considerazioni.
Il problema non ha niente di complicato.
La base è la legge (di Laplace?) $dF = Ids times B$
Nel caso nostro $ds$ ha la direzione della tangente alla spira, $B$, benchè angolato rispetto all'asse z, è perpendicolare a $ds$ così che il prodotto vettore diventa un prodotto normale, la direzione di $dF$ è perpendicolare sia a $ds$ che a $B$.
Se l'angolo $theta$ fosse 0, i vettori $dF$ giacerebbero nel piano della spira, e l'integrale sarebbe zero. Le forze avrebbero solo l'effetto di espandere (o comprimere) la spira.
Essendo $theta ne 0$, i vettori $dF$ hanno una componente secondo z, (formano un cono con z come asse) e queste nell'integrale si sommano. Le forze hanno l'effetto di attirare (o respingere) la spira.
In effetti, due calamite si attirano (o respingono) per questo motivo.
Allora si tratta di trovare questa componente, che è $dF sin theta$, e integrare sulla circonferenza, e siccome i valori sono tutti costanti è semplicemente $I * B * 2pi R * sin theta$

[franzcecco]

Il mio problema era riguardo il ds appunto (spostamento infinitesimo), ti invito a guardare la figura precedentea quella dell'esercizio nella foto per farti un esempio immediato. Non si legge tutto, ma chiede di calcolare in pratica la forza magnetica esercitata sul filo. Per quanto riguarda i tratti rettilinei è banale, ma poi nel caso della semicirconferenza considera 2R anzichè pigreca*R cioè la lunghezza del filo anzichè lo spostamento tra i due estremi della semicirconferenza. Perchè adesso abbiamo considerato la prima anzichè l'ultima? Il resto mi è abbastanza chiaro ti ringrazio.

[mgrau]

Nell'esercizio di sopra lungo la circonferenza la forza ha la direzione del raggio, allora, quando si sommano i contributi dovuti ai ds, le componenti x si annullano, e restano solo le componenti y. Allora il risultato è lo stesso che si otterrebbe se, invece di considerare i ds completi, con la loro direzione, si considerasse solo la loro proiezione sul diametro orizzontale, cioè, la componente y della forza è quella prodotta dalla componente x di ds.
Integrando, risulta che la forza sulla semicirconferenza è la stessa che si avrebbe se il filo fosse disposto sul diametro orizzontale, quindi $I*B*2R$

[franzcecco]

Quindi in pratica era solo una questione vettoriale di contributi che si annullano e rimangono solo quelli dello spostamento orizzontale in quel caso, ma in generale devo considerare lo spostamento o la lunghezza della curva generica? Se sono complanari campo e spostamento devo considerare la distanza tra il punto finale e iniziale, ma in altre situazioni? Non riesco ancora a vedere nel caso del secondo esercizio perchè devo considerare la lunghezza della circonferenza anzichè come prima. Da quello che ho capito la componente che ci interessa è By ed è appunto costante su tutta la sua lunghezza come modulo, con la forza che punto verso l'asse z (in basso) e quindi non verso il centro come prima e non posso considerare solo lo spostamento orizzontale( da R a -R) ma la lunghezza del filo che è quella della circonferenza. E' giusto?

[mgrau]

Da quello che ho capito la componente che ci interessa è By ed è appunto costante su tutta la sua lunghezza come modulo, con la forza che punto verso l'asse z (in basso) e quindi non verso il centro come prima e non posso considerare solo lo spostamento orizzontale( da R a -R) ma la lunghezza del filo che è quella della circonferenza. E' giusto?

Devi sempre considerare gli elementi infinitesimi del circuito, $ds$.
In ogni punto della circonferenza abbiamo $ds$ e $B$ perpendicolari, $B$ con modulo costante.
Il vettore $dF$ è perpendicolare ai due, così, se $B$ è inclinato di $theta$ rispetto all'asse z, anche $dF$ è inclinato di $theta$ rispetto al piano xy della spira.
Per la simmetria, vediamo subito che, nell'integrale, le componenti di $dF$ nel piano xy si annullano, e resta solo la componente z.
La componente z di $dF$ è $dF sin theta = I*B*sin theta*ds$
Ora, questi termini sono tutti costanti, per cui nell'integrale resta solo ds, e risulta la lunghezza della circonferenza, da cui abbiamo
$F = 2piR*I*B*sin theta$

[franzcecco]

Grazie sei stato molto chiaro. Una ultima domanda, nel caso di un campo perpendicolare ad un piano e considerando una percorso aperto qualsiasi su quel piano, dovrei considerare solo la distanza che unisce i due punti e non la lunghezza della curva( del percorso qualsiasi), purchè sia aperto?

[mgrau]

nel caso di un campo perpendicolare ad un piano e considerando una percorso aperto qualsiasi su quel piano, dovrei considerare solo la distanza che unisce i due punti e non la lunghezza della curva( del percorso qualsiasi), purchè sia aperto?

Già, direi proprio che è così. E anche se è chiuso, perchè no? La forza risulta zero.