Notazione di Dirac - meccanica quantistica

[Nikikinki]

Salve a tutti avrei non pochi problemi con l'approccio alla meccanica quantistica, non tanto sui concetti quanto su questa maledetta notazione di dirac nello scrivere ogni cosa che sembra molto semplice ma spesso alcuni passaggi mi sfuggono totalmente.
La domanda è, considerando l'operatore $x^2$mi sono trovato a dover risolvere $<0|x^2|0>$ dove lo zero è lo stato fondamentale. Ora la risoluzione del professore è
$<0|x^2|0> = |<0|x|0>|^2 = |<1|x|0>|^2 $
e quindi si prende l'elemento di matrice corrispondente $(n=1,m=0)$e lo si eleva al quadrato.
Tuttavia in un altro contesto il professore ha risolto
$ <0|x^2|0> = |<0|x|0>|^2 = |<0|x|1>|^2 $
ottenendo quindi un altro risultato partendo dalla stessa scrittura!
Se qualcuno può spiegarmi queste uguaglianze (da dove esce l'1) e perché due scritture uguali portano a risultati diversi gli sarei davvero grato. Anche qualche consiglio generale su come trattare questo formalismo non sarebbe male.

Grazie in anticipo a chiunque voglia aiutarmi

[v3ct0r]

Ciao, benvenuto nel forum!

Dovresti essere un po’ più specifico riguardo al contesto, a prima vista mi sembra che si tratti dell’oscillatore armonico quantistico, ma un paio di uguaglianze non mi tornano.

Comunque, intanto ti faccio notare che $< 0 | x | 1 >$ e $< 1 | x | 0 >$ sono uno il coniugato dell'altro, perciò $| < 0 | x | 1 > |^2 = | < 1 | x | 0 > |^2$

Per il resto, l’unico consiglio che posso darti sulla notazione di Dirac è di fare un sacco di di esercizi

[Nikikinki]

Ciao grazie per il benvenuto e la risposta, provo a contestualizzare meglio.
Il contesto è proprio l'oscillatore armonico quantistico.
Nel primo caso ho un hamiltoniana con la parte cinetica tradizionale in $p^2$ anche se solo per le componenti $x,y$ mentre il potenziale è quello dell'oscillatore armonico in $y\in[0,a]$ ed infinito per le altre y .
La domanda è calcolare il valor medio dell'operatore $p^2=p_x^2+p_y^2$ nello stato fondamentale.
Avendo trovato gli autostati e potendo scrivere l'energia come
$E_(k,l) = \omega h(k+1/2)+\pi^2h^2l^2/(2ma^2) , k=0,1,2... ; l=1,2... $
h sarebbe h tagliato ma non sapevo come metterlo. Comunque lo stato fondamentale si trova per k=0 e l=1 che è il minimo di energia.
Quindi voglio calcolare
$<0,1|p^2|0,1> = 2m<0,1|p^2/(2m)|0,1> = 2m<0,1|H-V(x,y)|0,1> = 2m(<0,1|H|0,1> - <0,1|V(x,y)|0,1>)$
Quindi
$<0,1|H|0,1> = E_(0,1)$
e fin qui diciamo tutto ok, adesso c'è la parte che mi è un po' oscura
$<0,1|V(x,y)|0,1> = <0|1/2 \omega^2 x^2|0> = 1/2m\omega^2<0|x^2|0> = 1/2m\omega^2|<1|x|0>|^2$
Ora noi abbiamo chiamato in generale gli elementi di matrice dell'operatore $x$ come
$x_(n,m) = <n|x|m> = \{(1/K ((n+1)/2)^(1/2) m=n+1),(1/K(n/2)^(1/2) m=n-1),(0 ):}$
questo è il caso in cui, in questa scrittura, $(n=1,m=0)$ quindi l'elemento ha la forma descritta per $m=n-1$ e la $K=(m\omega/h)^(1/2)$
quindi
$1/2m\omega^2|<1|x|0>|^2=1/2m\omega^2*h/(2m\omega)=1/4 \omega h$

Se riesci a spiegarmi cosa ha fatto nella seconda parte dove tira fuori quell'1 quando invece erano entrambi 0 gli stati magari capisco da solo anche l'altro esempio in cui inverte l'ordine mettendo il coniugato come hai detto tu.

[v3ct0r]

Ok, nel caso dell’operatore $x$ quella rappresentazione matriciale in effetti è corretta, prima non mi ero reso conto di star parlando dell’operatore posizione, ho editato.

Ora, per quanto riguarda l’uguaglianza, direi che possiamo giustificarla così:

$< 0 | x^2 | 0 > = < 0 | x x | 0 > = < 0 | x I x | 0 >$ dove $I$ è l’operatore identità.

Ma attraverso la relazione di completezza per gli operatori lineari, l’operatore identità può essere scritto come somma sui proiettori

$I = sum | n > < n | = | 0 > < 0 | + | 1 > < 1 | + | 2 > < 2 | + …$ e così via

Quindi $< 0 | x I x | 0 > = < 0 | x (| 0 > < 0 | + | 1 > < 1 | + | 2 > < 2 | + …) x | 0 > = < 0 | x | 0 > < 0 | x | 0 > + < 0 | x | 1 > < 1 | x | 0 > + < 0 | x | 2 > < 2 | x | 0 > + …$

Ma dalla rappresentazione matriciale che hai scritto vedi che il termine $< n | x | m >$ si annulla su tutte le coppie di stati, tranne quelle che differiscono di $1$ (volendo puoi dimostrarlo anche con gli operatori di innalzamento e abbassamento), perciò l’unico termine che sopravvive nella nostra somma è $< 0 | x | 1 > < 1 | x | 0 >$ e quindi

$< 0 | x^2 | 0 > = < 0 | x | 1 > < 1 | x | 0 > = |< 1 | x | 0 >|^2$

Ti piace?

[Nikikinki]

Direi di sì, mi piace molto! Non mi sarebbe mai venuto in mente un cosa del genere, ti ringrazio davvero Anzi me l'hai spiegato talmente bene che temo nei prossimi giorni potrei tornare a bussare da queste parti. Grazie ancora!