dubbi esercizi conduttori e condensatori

[studente-studente]

Ciao, non ho ben chiari alcuni punti di vari esercizi. Scrivo tutto qua per evitare di fare più post essendo brevi:

1) Due conduttori sferici $C_1$ e $C_2$ cavi, molto sottili, concentrici di raggi $R_1$ e $R_2$ sono sostenuti ciascuno da un supporto isolante. La carica $q_1$ viene trasferita a $C_1$ e $q_2$ a $C_2$.
Calcolare
a) la differenza di potenziale tra $C_1$ e $C_2$.
b) il potenziale V rispetto all'infinito di $C_2$ e $C_3$.



Ho calcolato senza problemi il punto a) ottenendo \( \bigtriangleup V=\frac{q}{4\pi\varepsilon_o}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})\).
Piuttosto ho problemi a calcolare il punto b) né tantomeno capisco cosa fa il libro: \( V=\frac{q_1+q_2}{4\pi\varepsilon_o(R_2+R_3)} \)

2) Dati $C_1$, $C_2$, $C_3$ e V. Calcolare l'energia elettrostatica $U_e$ del sistema.
Io ho fatto così: $U_e$= $\frac{1}{2} q_1 V_1+\frac{1}{2}q_2V_2+\frac{1}{2}q_3V_3$ ma il libro fa: $U_e=\frac{1}{2}C_{eq}V^2.$
Non capisco se le cose sono equivalenti o meno, la mia soluzione non mi sembra sbagliata.




3)Dati $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ e $q_1$. Come faccio a calcolare la differenza di potenziale tra A e B?



Io ho pensato di calcolare $C_{eq(1,2)}$ e poi usare la relazione $C=\frac{q}{V}$ ma così viene \( \bigtriangleup V=\frac{q}{C_{eq (1,2)}}=\frac{q}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}} \) mentre il libro fa \( \bigtriangleup V=q *({\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}) \).

Spero possiate aiutarmi a chiarire dei dubb.. Vi ringrazio in anticipo!!

[anonymous_0b37e9]

Indicando con $x_2$ la carica presente su $C_2$ e con $x_3$ la carica presente su $C_3$:

$[x_2+x_3=q_2] ^^ [V_2=q_1/(4\pi\epsilon_0R_2)+x_2/(4\pi\epsilon_0R_2)] ^^ [V_3=x_3/(4\pi\epsilon_0R_3)]$

In definitiva, si tratta di risolvere il seguente sistema:

$\{(x_2+x_3=q_2),(V_2=V_3):} rarr \{(x_2+x_3=q_2),((q_1+x_2)/R_2=x_3/R_3):} rarr [x_3=(R_3(q_1+q_2))/(R_2+R_3)] rarr [V_2=V_3=(q_1+q_2)/(4\pi\epsilon_0(R_2+R_3))]$

[studente-studente]

$ [x_2+x_3=q_2]$

Perché?

$V_2=q_1/(4\pi\epsilon_0R_2)+x_2/(4\pi\epsilon_0R_2)$

Perché il potenziale è dato da questa somma e non solo dall'ultimo termine? E perché nella prima frazione ho $R_2$ a denominatore e non $R_1$?

[anonymous_0b37e9]

La carica $q_2$ presente inizialmente su $C_2$ si distribuisce su $C_2$ e su $C_3$ in modo tale da rendere uguali i loro potenziali:

$[x_2+x_3=q_2] ^^ [V_2=V_3]$

Inoltre, il potenziale $V_2$, per simmetria sferica e per il principio di sovrapposizione, è quello dovuto a una carica puntiforme $[q_1+x_2]$ situata nel centro di $C_2$ e calcolato alla distanza $R_2$:

$[V_2=1/(4\pi\epsilon_0)(q_1+x_2)/R_2]$

Per quanto riguarda gli altri due esercizi:

Non capisco se le cose sono equivalenti o meno, la mia soluzione non mi sembra sbagliata.

Sono equivalenti.

... ma così viene \( \bigtriangleup V=\frac{q}{C_{eq (1,2)}}=\frac{q}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}} \) mentre il libro fa \( \bigtriangleup V=q ({\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}) \) ...

Probabilmente una tua svista: $[1/C_(eq(1,2))=1/C_1+1/C_2]$

[studente-studente]

Inoltre, il potenziale $ V_2 $, per simmetria sferica e per il principio di sovrapposizione, è quello dovuto a una carica puntiforme $ [q_1+x_2] $ situata nel centro di $ C_2 $ e calcolato alla distanza $ R_2 $:

$ [V_2=1/(4\pi\epsilon_0)(q_1+x_2)/R_2] $

Ultimo dubbio: dalla teoria, gli esempi e i precedenti esercizi ci sono sul fatto che il potenziale abbia quella formula. Non ho ancora ben chiaro per quale motivo in questo caso la carica è la somma delle cariche di $C_1$ e $C_2$.. non dovrei avere il fenomeno di schermo elettrostatico?

Al massimo dovrei avere: nella parete interna di $C_2$ ho $q_2-q_1$ mentre nell'esterna ho $q_2+q_1$.. ma allora come scelgo quale delle due cariche scegliere? Qualcosa non torna.. probabilmente è così sottile da potere ignorare il fatto interno-esterno ma allora continuo a non spiegarmi la somma delle cariche.. spero di aver fatto capire il mio dilemma

p.s. grazie per aver risposto anche ai dubbi inerenti gli altri problemi!!

[anonymous_0b37e9]

Al massimo dovrei avere: nella parete interna di $C_2$ ho $q_2-q_1$ mentre nell'esterna ho $q_2+q_1$ ...

Non ne comprendo il motivo. Ad ogni modo, se vuoi procedere considerando lo spessore di $C_2$, sulla sua superficie interna è presente una carica $[-q_1]$, sulla sua superficie esterna è presente una carica $[q_1+x_2]$. Il procedimento, così come il risultato, non cambiano.

... probabilmente è così sottile da potere ignorare il fatto interno-esterno ma allora continuo a non spiegarmi la somma delle cariche ...

Anche considerando lo spessore, il potenziale $V_2$, per simmetria sferica e per il principio di sovrapposizione, è quello dovuto a una carica puntiforme $[q_1-q_1+q_1+x_2=q_1+x_2]$ situata nel centro di $C_2$ e calcolato alla distanza $R_2$.

... spero di aver fatto capire il mio dilemma ...

Nella formula sottostante:

$[V_2=1/(4\pi\epsilon_0)(q_1+x_2)/R_2]$

il potenziale $V_2$ si calcola considerando la carica totale $q_1$ presente su $C_1$ e la carica totale $[-q_1+q_1+x_2=x_2]$ presente su $C_2$.

[studente-studente]

[...] Non ne comprendo il motivo. [...]

Io ho pensato: essendo $C_1$ conduttore interno a $C_2$ conduttore cavo dovrebbe esserci il fenomeno di schermo elettrostatico (il libro ha proprio un paragrafo dove spiega usando proprio una figura simile).. per questo mi sono posto il problema delle cariche.

Ignorando questo fatto, non capisco da dove dovrei dedurre che il potenziale $V_2$ sia la somma delle cariche e non solo $x_2$.. cioè $V_1$ è dato solo da $q_1$, perché $V_2$ no? Forse per il principio di sovrapposizione? Allora se al posto di avere $C_1$, avessi avuto semplicemente una carica $y$ allora avrei avuto $x_2+y$?

Ad ogni modo, se vuoi procedere considerando lo spessore di $ C_2 $, sulla sua superficie interna è presente una carica $ [-q_1] $, sulla sua superficie esterna è presente una carica $ [q_1+x_2] $. Il procedimento, così come il risultato, non cambiano.

Eh allora qui resta il problema: se devo calcolare il potenziale devo considerare la carica interna di $C_2$ o quella esterna? E perché? Soprattutto perché la carica cambia tra dentro e fuori!! Da quello che hai scritto dopo deduco che essendo conduttori sottili considero tutta la superficie quindi effettivamente poi si ottiene la formula corretta, ma se non lo fossero?

Sempre grazie della pazienza Sergeant Elias

[anonymous_0b37e9]

Nella speranza di chiarire definitivamente i tuoi dubbi, può essere utile determinare la funzione potenziale $V(r)$ nel caso in cui si abbiano due sfere concentriche di spessore trascurabile, la prima (interna) di raggio $R_1$ e di carica $Q_1$, la seconda (esterna) di raggio $R_2$ e di carica $Q_2$:

$[r lt R_1] rarr [E(r)=0] ^^ [V(r)=A]$

$[R_1 lt r lt R_2] rarr [E(r)=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r^2] ^^ [V(r)=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r+B]$

$[r gt R_2] rarr [E(r)=1/(4\pi\epsilon_0)(Q_1+Q_2)/r^2] ^^ [V(r)=1/(4\pi\epsilon_0)(Q_1+Q_2)/r+C]$

Per determinare le $3$ costanti di integrazione si impongono le seguenti condizioni:

$[lim_(r->R_1^-)V(r)=lim_(r->R_1^+)V(r)] rarr [A=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1+B]$

$[lim_(r->R_2^-)V(r)=lim_(r->R_2^+)V(r)] rarr [1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_2+B=1/(4\pi\epsilon_0)(Q_1+Q_2)/R_2+C]$

$[lim_(r->+oo)V(r)=0] rarr [C=0]$

Risolvendo il sistema:

$[A=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1+1/(4\pi\epsilon_0)Q_2/R_2] ^^ [B=1/(4\pi\epsilon_0)Q_2/R_2] ^^ [C=0]$

Finalmente:

$[r lt R_1] rarr [V(r)=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1+1/(4\pi\epsilon_0)Q_2/R_2]$

$[R_1 lt r lt R_2] rarr [V(r)=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/r+1/(4\pi\epsilon_0)Q_2/R_2]$

$[r gt R_2] rarr [V(r)=1/(4\pi\epsilon_0)(Q_1+Q_2)/r]$

In particolare, per quanto riguarda il potenziale delle due sfere:

$[V(R_1)=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1+1/(4\pi\epsilon_0)Q_2/R_2] ^^ [V(R_2)=1/(4\pi\epsilon_0)(Q_1+Q_2)/R_2]$

Insomma, il potenziale della sfera esterna:

$[V(R_2)=1/(4\pi\epsilon_0)(Q_1+Q_2)/R_2]$

per simmetria sferica e per il principio di sovrapposizione, è quello dovuto a una carica puntiforme $[Q_1+Q_2]$ situata nel centro del sistema e calcolato alla distanza $R_2$ (come si era detto in precedenza). Inoltre, il potenziale della sfera interna:

$[V(R_1)=1/(4\pi\epsilon_0)Q_1/R_1+1/(4\pi\epsilon_0)Q_2/R_2]$

non dipende solo da $Q_1$ (non se ne era parlato in precedenza). Piuttosto, per il principio di sovrapposizione ed essendo possibile calcolarlo nel centro del sistema, è la somma di quello dovuto ad una densità di carica superficiale $Q_1/(4\piR_1^2)$ alla distanza costante dal centro $R_1$ e di quello dovuto ad una densità di carica superficiale $Q_2/(4\piR_2^2)$ alla distanza costante dal centro $R_2$.

[studente-studente]

Finalmente ho tutto chiaro, mi sa che avevo proprio bisogno di vedere il procedimento passo passo! Grazie mille!!