Massima oscillazione di una massa

[Mynameis]

Buon pomeriggio , avevo bisogno di una mano per questo esercizio " una massa $ M= 2 kg $ è appoggiata ad un piano orizzontale scabro. Il coefficiente di attrito statico relativo al contatto è $ mu_s=0,4 $ . Un filo inestensibile di massa trascurabile collega la massa $ M $ alla massa $ m=0,3 kg $ sospesa nel vuoto alla destra di $ M $ . La carrucola C sulla quale passa il filo ha massa e dimensioni trascurabili . Calcolare il massimo valore dell'ampiezza di oscillazione della massa $ m $ che non produce lo spostamento della massa $ M $. Io ho seguito questo procedimento; scritta la seconda legge di Newton per il blocco superiore $ T-mu_sMg=0 $ e per la massa $ m $ lungo il filo in corrispondenza all'oscillazione massima $ T-mgcostheta=mv^2/r $ dove r è la lunghezza del filo applico la conservazione dell'energia per trovare la velocità $ 1/2mv^2-mgr(1-costheta)=0 $ . Trovata la velocità sostituisco questa nell'equazione del blocco $ M $, sostituisco alla tensione il valore $ mu_sMg $ ed a questo punto ho come unica incognita il coseno dal quale trovo il valore di $ theta_(max) $ . È corretto come procedimento ? Lo stesso identico esercizio solo con valori numerici diversi è reperibile su internet su un file di esercitazioni . Ho provato a svolgerlo seguendo questo stesso procedimento ma il risultato è sbagliato . Viene infatti data la soluzione a piè di pagina ( per quei dati ) il che mi fa pensare che ci sia qualcosa di sbagliato qui

[anonymous_0b37e9]

La tensione assume il valore massimo quando il filo è diretto lungo la verticale:

$\{(1/2mv^2=mgr(1-cos\theta_(max))),(T_(max)-mg=mv^2/r):} rarr [T_(max)=mg(3-2cos\theta_(max))] rarr [mg(3-2cos\theta_(max)) = \mu_sMg] rarr$

$rarr [cos\theta_(max) = (3m-\mu_sM)/(2m)]$

Quindi:

$[(3m-\mu_sM)/(2m) lt 0] rarr [\theta_(max)=\pi/2]$

$[0 lt= (3m-\mu_sM)/(2m) lt= 1] rarr [\theta_(max)=arccos((3m-\mu_sM)/(2m))]$

$[(3m-\mu_sM)/(2m) gt 1] rarr$ [Impossibile]

[Mynameis]

Ciao , non so se c'è stato un fraintendimento ma il filo non parte oscillando da sopra per poi arrivare nel punto di sospensione ; nella immagine viene presentato sospeso nel vuoto e quindi suppongo fermo , $ T-mg=0 $ , e successivamente viene messo in moto o comunque si suppone che venga fatto oscillare e che pertanto l'equazione del moto sia quella scritta da me per punti diversi da quello di sospensione . Che poi ripassi per il punto suddetto e abbia come equazione quella scritta da te , @anonymous_0b37e9 , non credo serva perché a mia interpretazione il problema chiede di calcolare l'oscillazione massima a partire dal punto di sospensione. Appurato questo io arrivo ad un risultato diverso in virtù di quello che dicevo prima
$ { (mgr(1-costheta)=1/2mv^2 ),( T-mgcostheta=mv^2/r ):} $
La tensione è $ mu_sMg $ quindi
$ mu_sMg-mgcostheta=2mg-2mgcostheta $ da cui
$ costheta=-0,66 $
Non mi spiego il segno negativo di questo risultato
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Ciao Mynameis. Prima di discutere i contenuti del tuo ultimo messaggio, il problema dovrebbe essere quello sottostante:

Se così fosse:

$[0 lt= (3m-\mu_sM)/(2m) lt= 1] rarr [\theta_(max)=arccos((3m-\mu_sM)/(2m))]$

fornisce la soluzione corretta.

[Mynameis]

Esattamente , il problema è proprio questo . Per quanto riguarda la risoluzione : il ragionamento che sta a monte dell'esercizio è quello scritto da entrambi con la differenza che nel mio c'è un termine diverso nelle equazioni risolutive ;
io scrivo $ T-mgcostheta=mv^2/r $ scrivendo la seconda legge di Newton per un istante generico del moto ( presumibilmente in corrispondenza del $ theta_(max) $ cercato ) . Tu scrivi la stessa legge , però nell'istante iniziale ovvero quando il filo è verticale $ T-mg=mv^2/r $
Vorrei capire come tu sappia a priori che , quando il filo è verticale , ci sia moto lungo l'asse Y . Infatti io avrei scritto direttamente $ T-mg=0 $ e , come detto prima , avrei scritto la seconda legge di Newton in un istante generico dell'oscillazione . D'altra parte non mi sembra che il testo lasci intendere che il filo sta seguendo un moto circolare anche quando è verticale ( almeno a mia interpretazione ) . E se così fosse , non possiamo scrivere comunque la relazione $ T-mgcostheta=mv^2/r $ nel generico istante e poi procedere alla solita maniera con la conservazione della energia meccanica ? Non capisco a questo punto dove stia il perché di quel coseno negativo che rimane comunque sbagliato quindi in quello che propongo ci deve essere comunque qualcosa di errato. Grazie

[anonymous_0b37e9]

Risolvendo il seguente sistema:

$\{(T-mgcos\theta=mv^2/r),(1/2mv^2-mgr(1-cos\theta)=0),(T=\mu_sMg):} rarr [cos\theta=(2m-\mu_sM)/m]$

e sostituendo i dati della tua consegna, si ottiene senz'altro $[cos\theta lt 0]$. Tuttavia, stai risolvendo semplicemente un altro problema. Ossia, determinare l'ampiezza dell'oscillazione di un pendolo matematico (avente il punto di sospensione fisso) di massa $m$ e lunghezza $r$ in modo tale che la tensione valga $\mu_sMg$ (un valore assegnato arbitrariamente a priori) proprio quando il pendolo inverte il verso del moto. Tra l'altro, $[cos\theta lt 0]$ rende quest'ultimo problema privo di significato. Infatti, un pendolo non può invertire il verso del moto a un'altezza maggiore del suo punto di sospensione.

[Mynameis]

Ho ragionato maggiormente sul problema , seguendo anche quello che mi avevi scritto tu , @anonymous_0b37e9 . Solo l'ultimo passaggio non mi è chiaro : perché il pendolo non può invertire il verso del moto ad una altezza maggiore del punto di sospensione ? In fondo , se un corpo viene mandato ad una altezza adeguatamente superiore a questo , fornendogli un 'altrettanta adeguata forza iniziale raggiunto questo punto non ricadrebbe ( invertendo così il verso del moto ) sotto l'azione del suo stesso peso ?
Grazie per i chiarimenti

[Vulplasir]

La tensione massima si raggiunge quando il pendolo passa per la verticale, quindi $costheta=0$, senza se e senza ma.

[Mynameis]

Ciao Vulplasir . Sul fatto che la tensione massima si raggiunga quando il filo passa per la verticale dato che il $ costheta=0 $ in questa posizione non ho dubbi . Il dubbio che mi rimaneva da chiarire era quello scritto nel mio ultimo messaggio

[Vulplasir]

Il pendolo non può invertire il moto ad una altezza maggiore del punto di sospensione perché se no non sarebbe un pendolo...se gli fai fare un giro completo, che pendolo è?. E tra l'altro il moto non sarebbe neanche invertito, perché se fa il giro completo, non inverte un bel nulla, ma continua a ruotare nello stesso verso.