Ho un problema con la risoluzione dell'esercizio mostrato in figura.. posto la foto per una maggior chiarezza.
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Ci sono arrivato sino a quando definisce l'EQD $\frac{d^2x}{dt^2} + w^2x = g$.
Risolvo l'equazione, considerando che:
- il termine noto fosse costante;
- la soluzione $x(t) = \bar{x}(t) + x_p(t)$ rispettivamente la soluzione della omogenea associata e la soluzione particolare;
Calcolo il polinomio caratteristico, ottenendo come soluzioni: $\lambda _1= -iwt ; lambda _2= iwt$.
Pertanto la soluzione della OA sarà: $\bar{x}(t)= c_1 * e^{-iwt} + c_2 * e^{iwt}$.
Utilizzando la formulazione di Eulero -> $e^{\alpha+i\beta}= e^\alpha cos(\beta) + ie^\alpha sin(\beta)$ con $alpha = 0$ e $beta =\pm iwt$ si ha:
->$c_1[cos(wt) - isen(wt)] + c_2[cos(wt)+ isen(wt)]$
->$(c_1+c_2)(cos(wt)+ (c_2-c_1)(sen(wt))$
Ridefinendo le costanti: $(c_1+c_2)= c_1$ e $i(c_2-c_1)= c_2 $ si ottiene: $\bar{x}(t)= c_1cos(wt)+c_2sin(wt)$ (soluzione complementare)
Trovo la soluzione particolare con il metodo dei coefficienti indeterminati:
$\frac{d^2x}{dt^2} + w^2x = g$, $g$ sarà della forma $s_p(t)$=$a_1$ (costante). La sua derivata seconda è 0.
Impongo che $x_p(t)$ sia soluzione e la sostituisco nella EQD.
-> $\frac{d^2x_p}{dt^2} + w^2x_p = g$ -> $w^2x_p = g$. Ma $x_p(t) = a_1$ -> $a_1=g/w^2$
La soluzione generale sarà: $x(t)=c_1cos(wt)+c_2sin(wt)+g/w^2$
Ora mi sarei ricavato la velocità dalla legge oraria. Ed avrei impostato un (problema di Cauchy?) - dovrebbe essere quello, se non ricordo male - stavo dicendo, avrei impostato un sistema per definire le condizioni iniziali ovvero:
sostituendo t= 0 nelle leggi orarie ottengo:
\begin{cases} x_0=x(t_0) \\ v_0 = v(t_0) \end{cases} -> \begin{cases} x_0=c_1 + \frac{g}{w^2} \\ v_0 = c_2w \end{cases}
Le costanti, a t=0 valgono rispettivamente: $c_1=x_0-g/w^2$ , $c_2=v_0/w$
La legge oraria, per t=0 sarà -> $(x_0-g/w^2)cos(wt)+(v_0/w)sin(wt)+g/w^2$
Non so se questo ragionamento sia corretto o meno. Sò solo che la soluzione particolare da me trovata, coincide con la soluzione che inserisce nell'equazione (sostituendo $w^2=k/m$)..
Mi chiedo sicuramente se la mia soluzione sia corretta o meno, e se nel caso lo fosse: qual'è il legame tra la mia soluzione e quella del libro? visto che il termine col coseno è inesistente? Qual'è la strada giusta da percorrere affinchè possa risolversi questo esercizio?
Grazie, Buon Ferragosto.
Grazie mille 
