Operatore quantità di moto in MQ

[michl]

Salve, sto studiando l'operatore quantità di moto in MQ, in particolare sono un po' bloccato sulla dimostrazione della sua hermiticità. In linea di principio è semplice: si integra per parti e si ottiene:

$\int \bar\psi_1 (\frac{d}{dq}\psi_2) dq = \int (\frac{d}{dq}(\bar\psi_1 \psi_2) - (\frac{d}{dq}\bar\psi_1)\psi_2) dq = -\int \bar\psi_2 (\frac{d}{dq}\psi_1) dq$

(tutti gli integrali si intendono fra -infinito e +infinito). Questo implica che: $\int \frac{d}{dq}(\bar\psi_1 \psi_2) dq = 0$

e questo è ciò che non capisco a fondo. In generale, questo viene giustificato dicendo che "si assume che le funzioni vadano a zero all'infinito", ma la cosa non mi convince: per es. $e^-\abs(x)$ va a zero all'infinito, ma $\int_-\infty^\infty e^-\abs(x) dx = 2$.

Un altro motivo che ho trovato è che si suppone che le funzioni "siano a quadrato sommabile", ma la cosa mi dice poco. Immagino che la spiegazione sia molto facile, ma c'è qualcosa che mi sfugge.

C'è qualcuno che mi può dare una dritta?

Grazie

[v3ct0r]

Ciao, quella dimostrazione è sbagliata. Dove l'hai trovata?

[michl]

Ciao, l'ho trovata in un testo di Peter Woit che ho trovato in rete e che sto usando per approfondire l'argomento. Lo trovi a https://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf. Riporto di seguito il brano in questione:

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Perchè dici che è sbagliata?

[v3ct0r]

Hai sbagliato a trascrivere l’ultimo passaggio (hai messo il coniugato su $psi_2$ invece che su $psi_1$).

Inoltre, con quel procedimento, hai solo dimostrato che l’operatore derivata è antihermitiano (il testo lo specifica, “skew adjoint”). Ovviamente, il fatto che l’impulso sia hermitiano segue immediatamente aggiungendo il fattore $-ih$, ma vista così la dimostrazione di prima sembrava incompleta.

Bene, passiamo alla tua domanda. Ti basta notare che $int_{-oo}^{oo} d/{dq} (\bar psi_1 psi_2) dq = (\bar psi_1 psi_2)|_{-oo}^{oo}$
Quindi, come vedi, il fatto che le funzioni d’onda si annullino all’infinito ti assicura che quel termine sia uguale a zero. Insomma, non ti serve che si annulli l’integrale della funzione d’onda.

Funzioni “a quadrato sommabile” o “a quadrato integrabile” significa semplicemente che sono elementi dello spazio di Hilbert $L^2$, quello introdotto dall’autore all’inizio del paragrafo, cioè che l’integrale $int_{-oo}^{oo} |psi|^2 dq $ assume un valore finito, e quindi che tali funzioni sono normalizzabili

Il testo dice “assumendo che vadano a zero” perchè in realtà non tutte le funzioni a quadrato sommabile si annullano all'infinito. Ma quelle che si incontrano in MQ in genere lo fanno, quindi non c’è da preoccuparsi

[michl]

Grazie mille! Avevo pensato anch'io a qualcosa del genere, ma mi sembrava troppo semplice...