[Fisica generale, Meccanica] Piastra appoggiata su un rullo

[PoliBa12]

Salve a tutti, non riesco a venire a capo di un esercizio; ecco il testo:
"Una piastra, appoggiata su un rullo che rotola su un piano orizzontale, è trascinata orizzontalmente con accelerazione costante $ a = 3 m/s^2 $. Assumendo che nei contatti tra piastra e rullo e tra rullo e piano vi siano condizioni di rotolamento puro, noto il diametro $ d = 600 mm $ del rullo, determinare lo spazio percorso dal centro O e l' accelerazione del punto C dopo 15 s con partenza da fermo."

Il procedimento che ho seguito è il seguente:

detto A il punto di contatto tra rullo e piastra,
$ V(A) = V(C) + \omega ^^ (A-C) = \omega ^^ (A-C) $
$ a(A) = a(C) + \alpha ^^ (A-C) + \omega ^^ (\omega ^^ (A-C)) $

La condizione di aderenza impone che A abbia accelerazione orizzontale ed uguale a $ 3 m/s^2 $, quindi scomponendo la precedente equazione vettoriale, ricavo $ \alpha = 5 (rad)/s^2 $. Scrivo e derivo rispetto al tempo la formula di corpo rigido di V(O) come fatto per V(A), mi trovo $ a(O) = 1.5 m/s^2 $ e così ho lo spazio percorso da O, che parte da fermo:

$ s = 1/2 at^2 = 168.75 m $

Il mio dubbio sorge quando vado ad imporre che l' accelerazione di A sia orizzontale: normalmente, avvicinandosi A al piano di rotolamento, la sua accelerazione ha una componente verticale rivolta verso il basso. Ma ciò è in contrasto con la condizione di aderenza, in più ponendo a(A) orizzontale, mi trovo che l' accelerazione del centro di istantanea rotazione, cioè C, se ricavata con la seconda formula, vale il doppio del dovuto:

$ a(C) = - \omega ^^ (\omega ^^ (A-C)) = 3375 m/s^2 $

Il valore di $\omega(t=15 s)$ l' ho precedentemente ricavato così:

$ V(O) = a(O) t $

Mentre il reale valore di a(C), come anche indicato sul libro, andrebbe calcolato così:

$ a(C) = - \omega ^^ (\omega ^^ (O-C)) = 1687.5 m/s^2 $

Grazie a chiunque dovesse interessarsi del problema!

[Shackle]

Salve a tutti, non riesco a venire a capo di un esercizio; ecco il testo:
"Una piastra, appoggiata su un rullo che rotola su un piano orizzontale, è trascinata orizzontalmente con accelerazione costante $ a = 3 m/s^2 $. Assumendo che nei contatti tra piastra e rullo e tra rullo e piano vi siano condizioni di rotolamento puro, noto il diametro $ d = 600 mm $ del rullo, determinare lo spazio percorso dal centro O e l' accelerazione del punto C dopo 15 s con partenza da fermo."

L'accelerazione data è anche il modulo della componente orizzontale della accelerazione vettoriale totale del punto $A$ del rullo che, all'istante zero, è in contatto con la piastra. Il punto $C$ è il centro di istantanea rotazione in quell'istante, ma devi immaginarlo , nel prosieguo dell'esercizio, come se fosse un punto solidale al rullo stesso . È chiaro che il centro $O$ ha accelerazione vettoriale orizzontale, e il suo modulo vale la metà dell'accelerazione data :

$a(O) = 1.5 m/s^2$

Quindi dopo $15s$ la velocità di $O$ , parallela al piano , vale : $v(O) = 1.5m/s^2*15 s = 22,5m/s$

lo spazio percorso dopo $15s$ vale $168.75m$ , come hai calcolato . La velocità angolare vale, in quell'istante :

$\omega = v/R = 22.5 m/s*1/(0.30m) = 75 (rad)/s$

Il punto $C$ , pensato solidale al rullo , ha in quell'istante una accelerazione centripeta di valore : $a(C) = \omega^2R = 75^2*0.30m/s^2 = 1687.5 m/s^2 $ .

Il mio dubbio sorge quando vado ad imporre che l' accelerazione di A sia orizzontale: normalmente, avvicinandosi A al piano di rotolamento, la sua accelerazione ha una componente verticale rivolta verso il basso.

Si, certo, ma devi considerare solo la componente orizzontale della accelerazione totale di $A$, come detto all'inizio.

....Mentre il reale valore di a(C), come anche indicato sul libro, andrebbe calcolato così:

$ a(C) = - \omega ^^ (\omega ^^ (O-C)) = 1687.5 m/s^2 $

Grazie a chiunque dovesse interessarsi del problema!

si , è $omega^2R $ , come ti ho fatto vedere prima .

[PoliBa12]

Quindi il mio errore stava nel pensare l' accelerazione di A come uguale in modulo, direzione e verso a quella della piastra, immaginando quindi un' aderenza totale. A invece possiede una componente di accelerazione verso il basso. Sei stato chiarissimo, grazie!
Quindi, dal punto di vista puramente concettuale, è sbagliato parlare di "condizione di aderenza" per le accelerazioni di due punti che in un dato istante si sovrappongono, come A(piastra) e A(rullo)? Ha senso farlo solo quando trattiamo le velocità?

[Shackle]

Quindi, dal punto di vista puramente concettuale, è sbagliato parlare di "condizione di aderenza" per le accelerazioni di due punti che in un dato istante si sovrappongono, come A(piastra) e A(rullo)? Ha senso farlo solo quando trattiamo le velocità?

Non ho ben afferrato il senso di quello che chiedi. LA condizione di aderenza significa che, nel punto ci contatto, non c'è velocità relativa tra i due corpi. Da qui, vengono fuori le conseguenze cinematiche riguardanti velocità e accelerazioni dei punti a contatto , e quindi anche di altri punti notevoli dei corpi, visto che supponiamo i corpi "rigidi" . Conosci bene come si esprime il campo di velocità di un corpo rigido, l'hai anche scritto :

$vecv_P = vecv_O + vec\omega\times ( P-O) $

e quindi, per derivazione, le accelerazioni . Spero sia chiaro.

[PoliBa12]

Chiarissimo, grazie ancora!