Moto circolare del momento angolare?

[Gp2000]

Salve, mi sono imbattuto in questo problema. In pratica viene considerato un disco in rotazione a velocità angolare e momento angolare costanti in modulo. Ad un certo punto questo disco viene fatto ruotare in modo tale da far ruotare il vettore momento angolare di 360° considerando come cardine(o polo, o punto) di rotazione la coda del vettore momento angolare stesso. Quindi è come se il vettore momento angolare di questo sistema stesse ruotando come la lancetta di un orologio, descrivendo con la punta una circonferenza. Il problema chiede di calcolare il momento torcente del sistema. A primo impatto mi sono un po scandalizzato, dato che il problema non ci parla nè di variazioni di velocità, nè di variazioni di momenti angolari; quindi sono rimasto un po perplesso. Poi però ho buttato giù un'idee che non so se considerare corretta o meno:

-inizialmente distinguo il momento angolare del disco in rotazione (mentre il disco possiede solo un momento angolare dunque)
\( \displaystyle L=I\omega \) dove la I è il momento d'inerzia e omega è la velocità angolare del disco.
-Poichè il disco comincia a ruotare anche nell'altro grado di libertà di rotazione, allora esisterà un'ulteriore velocità angolare che io chiamerò \( \displaystyle \Omega \)
-A questo punto, poichè il problema ci dice che il momento angolare del disco (quello calcolato in precedenza) ruota di 360°, scrivo le scomposizioni vettoriali considerando un sistema di riferimento centrato nel punto di rotazione del momento angolare. In questo modo avrò queste due relazioni(chiaramente un sistema di assi x e y):
\( \displaystyle Lx(t)=Lcos(\Omega t) \)
\( \displaystyle Ly(t)=Lsen(\Omega t) \)
- poichè il momento angolare adesso varia in direzione e verso, sarà vero che
\( \displaystyle \displaystyle \frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\overrightarrow{\tau} \) con tau indico il momento torcente (o momento della forza).
- Adesso posso affermare che il modulo del momento torcente è
\( \displaystyle \displaystyle \sqrt{Lx'(t)^{2}+Ly'(t)^{2}}=...conti...= \sqrt{2}L\Omega \)

una rapida analisi sulle dimensioni, mostra che questa relazione fornisce comunque una dimensione di un momento torcente e in particolare si può evincere che il momento torcente è costante in direzione modulo e verso. Questo è ciò che sono riuscito a fare, voi avete qualche idea? Siccome non è un problema che sta nel libro, potete aiutarmi in un confronto?

[Shackle]

Ciao, benvenuto nel forum.

Diciamolo meglio, il tuo problema . Hai un disco che ha velocità angolare costante $vec\omega$ attorno al proprio asse di simmetria perpendicolare al piano del disco. Il momento angolare , pure lui costante , è parallelo all'asse di rotazione, che è un asse centrale di inerzia del disco : il parallelismo tra $vecL$ e $vec\omega$ caratterizza appunto gli assi principali di inerzia di un corpo, rispetto a un certo polo (ce ne sono almeno 3 per ogni punto, dentro o fuori del corpo) , e quando il polo è il CM l'asse principale si chiama "centrale" .

Adesso, prendiamo l'asse di rotazione e lo forziamo a ruotare di un certo angolo : stiamo compiendo quella che si chiama una "precessione forzata" dell'asse . Il disco rotante è un "giroscopio" , e una delle caratteristiche del giroscopio è la cosiddetta "tenacia dell'asse giroscopico" . In pratica, l'asse del giroscopio è come se non ne volesse sapere di mettersi a ruotare in un certo piano; tant'è vero che l'asse di un giroscopio in rotazione veloce mantiene la sua direzione nello spazio assoluto, e questa proprietà ( con parecchi accorgimenti e complicazioni, che non ti dico...) viene sfruttata , per esempio, nelle bussole giroscopiche delle navi : si fa in modo che l'asse indichi sempre il Nord geografico terrestre . Le soluzioni del problema sono complesse, lasciamole stare.

Per poter eseguire la precessione forzata prima detta, devi applicare quindi un certo momento all'asse del disco in rotazione.

Ti dirò : tranne quella $sqrt2$ , che non capisco da dove viene fuori , il valore da te trovato del momento da applicare è giusto :

$\tau = L\Omega = I\omega\Omega$

per l'esattezza, dovrebbe essere una equazione vettoriale.

In questo forum si è parlato altre volte della precessione forzata , per esempio in questa vecchia discussione .