Testo
Un conduttore sferico cavo, di raggio interno $R_2=5cm$ e raggio esterno $R_3=6cm$, contiene una sfera conduttrice concentrica, di raggio $R_1=2cm$.
Sulla sfera interna viene depositata una quantità di carica $Q=10^{-9} C$.
1.Determinare la distribuzione di carica all'equilibrio e calcolare il campo e il potenziale nello spazio in funzione della distanza $r$ dal centro del sistema. Rappresentare graficamente $E(r)$ e $V(r)$.
A distanza $R_P=10cm$ dal centro del sistema viene posta una carica puntiforme $q=-Q$.
2.Determinare la forza elettrostatica agente sui conduttori e sulla carica esterna puntiforme
3.Calcolare il lavoro del campo per portare la carica puntiforme $q$ sulla superficie del conduttore
4.Determinare la nuova situazione di equilibrio elettrostatico: distribuzione di cariche e campo $E(r)$.
5.Calcolare l'energia elettrostatica del campo nella regione interna e esterna al sistema.
L'intercapedine tra $R_1$ e $R_2$ viene riempita di un materiale dielettrico lineare e omogeneo di costante dielettrica $K=4$
6.Calcolare la densità di cariche di polarizzazione nel dielettrico.
Sol.:
(1) Poiché sono entrambe conduttori, se deposito una carica sulla sferetta più interna, compare una densità di carica superficiale $\sigma^-$ sulla parte interna della sfera, e una densità $\sigma^+$ sulla parte esterna (segue dalla legge di gauss, in quanto il campo elettrostatico all'interno della sfera è $\vecE=vec0$.
$\sigma^{+}=Q/(4\pi \epsilon_0 R_{3}^{2})$.
$\sigma^{-}=-Q/(4\pi \epsilon_0 R_{2}^{2})$.
La carica si distribuisce sulla superficie esterna di ogni conduttore e si ha che $E=\sigma/(\epsilon_0)$ su ogni superficie di ogni conduttore. (thm. di Coulomb).
Distinguo ora il valore del campo al variare di $r$, applicando il thm. di Gauss.
$r<R_1$, $E(r)=0$
$R_1<r<R_2$, $E(r)=Q/(4\pi\epsilon_0 r^2$.
$R_2<r<R_3$, $E(r)=0$
$r>R_3$, applicando Gauss, e notando che il campo è radiale: $E(r)=(\sigma R_3^2)/(\epsilon_0 r^2)$.
Ho che $V(r)=- \int_{\infty}^{r} E(r)dr$.
Senza fare tutti i conti, ho posto il potenzale all'infinito uguale a $0$, e per $V(r)$ ho trovato:
$r<R_1$, $V(r)=q/(4\pi\epsilon_o r)$
$R_1<r<R_3$, $V(r)=0$
$r>R_3$, $V(r)=(\sigma R_3^2)/(\epsilon_0 r)$.
(2)
La forza agente sulla carica puntiforme è $vecF=q vecE(r)$, con $r>R_3$, e vale $vecF=q \sigma R_3^2 / (\epsilon_0 R_{p}^{2})$
Sui conduttori agisce il campo $E$, in direzione normale, $E=\sigma/(\epsilon_0)$ e la forza elettrostatica agente su di essi è $vecF=q \sigma / \epsilon_0$
(3)
$W=-q*DeltaV$, con $DeltaV=V(R_3) - V(R_p)=(\sigma R_3)/ \epsilon_0 (1- R_3/R_p)$
(4)
Se metto la carica $q=-Q$, sulla superficie esterna, la superficie esterna, quella di raggio $R_3$, si neutralizza (non so se si può dire così...)
Distinguo ancora a seconda delle regioni:
$r<R_1$, $E(r)=0$
$R_1<r<R_2$, $E(r)=Q/(4\pi\epsilon_0 r^2$.
$r>R_2$, $E(r)=0$, poiché non può esserci campo all'esterno, v_isto che le linee partono da $R_1$ terminano su $R_2$.
(5)
$U_{int}=1/2QDeltaV=Q/2(V_{R_2} - V_{R_1})$
$U_{ext}=0$ (non c'è carica)
(6)Poiché il dielettrico è lineare e omogeneo, il vettore di polarizzazione $vecP$ è $vecP=\epsilon_0 (K-1) vecE=(K-1)/(K) vecD(r)$.
Sfruttando il campo $D$, detto induzione dielettrica, e usando il teorema di Gauss per quest'ultimo, ricavo che
$D(r) 4 \pi r^2 = Q$, da cui $D(r)=Q/(4\pi \epsilon_0 \r^2)$, in direzione radiale.
Perciò $vecP=(K-1)/(K) Q/(4\pi \epsilon_0 \r^2)=(K-1)/(K) \sigma$.
La densità di carica che compare sulla superficie della sferetta (di raggio $R_1$) è data da $(K-1)/K \sigma^{+}$, mentre quella che compare sulla superficie della sfera di raggio $R_2$ è a $(K-1)/K \sigma^{-}$.
Per i potenziali a dire il vero ho risolto, e mi trovo coi risultati esposti da Casio ! 