Energia cinetica carica puntiforme

[feddy]

Non riesco a capire come ragionare sul seguente problema, preso da un esame.

Un conduttore sferico di raggio $R_1=2cm$ è situato nel centro di un conduttore sferico cavo di raggio interno $R_2=5cm$ e raggio esterno $R_3=6cm$. Sul conduttore interno vi è densità di carica superficiale $\sigma=10^{-10} C/m^2$

A distanza $R_P=10 cm$ dal centro del sistema viene posta una carica puntiforme $q=2*10^{-9} C$. La carica è lasciata libera

(a) Descrivere qualitativamente il moto della carica e calcolare l'energia cinetica alla fine del suo percorso
(b)Calcolare il lavoro del campo elettrico per far compiere alla carica il suo percorso.

Ora la sfera conduttrice viene messa in contatto con la parete interna del conduttore.

(c)Calcolare la densità d energia elettrostatica $\mu_e$.
(d)Calcolare l'energia elettrostatica del sistema.

(a), (b)
Allora, tra il conduttore interno $C_1$ e il conduttore esterno $C_2$ c'è induzione completa e compare una densità superficiale $\sigma^-$ sulla parete interna di $C_2$ e una densità di carica $\sigma^+$ sulla parete esterna di $C_2$.

La carica, poiché positiva, sente una forza $F=qE$, con $E=E(r)=(\sigma R_{3}^{2})/(\epsilon_0 R_{P}^{2})$ campo elettrostatico in direzione radiale che è repulsiva e viene allontanata dal conduttore $C_2$.

Ora sorge il mio problema: mi viene chiesta l'energia cinetica finale: usando la relazione $W=DeltaE_k=Ek_f - Ek_i$ ho, poiché parte da ferma: $W=Ek_f$, pertanto l'energia cinetica finale è pari al lavoro compiuto per spostare la carica.

Pertanto $W=-qDeltaV=-q*(V_2-V_{R_P})$. Ho posto $V_2=0$, poiché in teoria in quel punto dovrei essere molto distante dal conduttore e pertanto il potenziale è nullo. Per cui $W=q*V_{R_P}=(q R_{3}^{2} \sigma)/(\epsilon_0 R_{P}^{2})$.

(c)Una volta avvenuto il contatto tra la sferetta interna e il conduttore $C_2$ ho che rimane solo una densità superficiale di carica sulla superficie esterna di $C_2$. La densità di energia elettrostatica, definita come $\mu_e=\epsilon_0 E^2 / 2$
in questa situazione è: $\mu_e=\epsilon_0 / 2 * E(r)^2$, con $E(r)= (\sigma R_3^2)/(\epsilon_0 r^2)$.

(d)L'energia elettrostatica del sistema è data da $U=U_{"interna"} + U_{"ext"}$.
$U_{"interna"}=1/2 q*DeltaV=0$, poiché con la nuova configurazione non ci sono cariche nella parte interna.

$U_{"ext"}=1/2 Q_i V_i=1/2 (R_{3}^{2} \sigma)/(\epsilon_0 R_3) * (\sigma 4 \pi R_{3}^{2})= (2R_{3}^{3} \sigma^{2} \pi)/(\epsilon_0)$


Qualsiasi consiglio , correzione o suggerimento è ben accetto

[feddy]

Up!

[mgrau]

Scrivi $W=q*V_{R_P}$ e va bene, ma poi $=(q R_{3}^{2} \sigma)/(\epsilon_0 R_{P}^{2})$. E questo da dove viene?
Più semplicemente, dalla simmetria del sistema e dal teorema di Gauss, io direi che il campo, e quindi il potenziale, in P non è influenzato dalla presenza del guscio esterno, ed è lo stesso che se tutta la carica fosse nel centro, per cui $V_(R_P) = 1/(4piepsi_0)*Q/R_P = 1/(4piepsi_0)*(4piR_1^2*sigma)/R_P = (sigma*R_1^2)/(epsi_0R_P)$

[feddy]

Azz, mi è chiaro ora ! Grazie mille.

Gli altri punti mi pare siano corretti, è così?

[mgrau]

Nelle risposte c) e d), non è che usi sempre la stessa densità $sigma$? Che invece varia quando la carica si trasferisce da $R_1$ a $R_3$. Ma magari ho letto male io

[feddy]

Sì, ho usato la stessa densità... quindi dovrei usare per esempio $\sigma_3=q/(4/3 pi R_3^3)$ ?

[mgrau]

quindi dovrei usare per esempio $\sigma_3=q/(4/3 pi R_3^3)$ ?

No, la carica è superficiale: la stessa carica passa dalla sfera 1 alla sfera 3, e dovresti usare $sigma_3 = sigma R_1^2/R_3^2$

[feddy]

Scusa, sarà stata l'ora, ma al denominatore in realtà volevo scrivere l'area della superficie sferica... un'ultima cosa: perché l'espressione della densità superficiale è quella? Non riesco a ricavarmela in nessun modo.

[mgrau]

La stessa carica $q = sigma*4piR_1^2 = sigma_3*4piR_3^2$
O volevi dire un'altra cosa?