È già stato detto che in meccanica classica il corpo rigido è un'astrazione, e ciò essenzialmente per due problemi : le deformazioni di natura elastica durante l'accelerazione, e la velocità finita di propagazione delle perturbazioni. Perciò, quando si trattano i problemi di moto del "corpo rigido" in meccanica classica, questi due problemi normalmente si ignorano.
Gli stessi problemi esistono, per uno studio relativistico dei corpi rigidi. Ma, in più, c'è la contrazione di Lorentz , che fa diminuire, in un riferimento in cui il corpo è in moto con velocità costante, la lunghezza osservata rispetto alla lunghezza propria. Questo, però,può generare confusione.
Tuttavia, si può dare una definizione di "moto rigido" secondo Born , che si occupò del problema già nel 1910 . Estesi dettagli , e la trattazione analitica, sono in
questo articolo tratto dalle Mathpages di K. Brown.
La distanza di una particella , che si suppone in moto accelerato con accelerazione propria costante (questo è il caso che meglio si sa trattare analiticamente) dalle altre particelle, rimane costante in ogni sistema inerziale momentaneamente comovente con la particella stessa.
Come dice Jerrold Franklin
in questo articolo , che sto scopiazzando
, la definizione di corpo rigido, in accordo a quella di Born , è questa :
Consequently, we take as our definition of a rigid body that a rigid body retains its rest frame dimensions while in translational motion. This requires a moving rigid body to change its ‘relativistic length’ in any frame in which it is moving.Anche Franklin assume il moto iperbolico relativistico , per ciascuna particella di cui è fatto il corpo.
Supponiamo quindi di avere un'asta, di lunghezza propria $L$ , disposta per lungo sull'asse $x$ di OI, che partendo dalla quiete si muove accelerando nella direzione della sua lunghezza.
Nella figura seguente, l'asta a riposo sull'asse $x$ è $A_0D_0$ , e ho indicato anche altri due punti intermedi $B_0 , C_0$ . L'asta si muove nella direzione positiva dell'asse $x$ , verso destra, accelerando.
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Sappiamo che il moto accelerato, con accelerazione propria costante $alpha$ , di un oggetto
puntiforme è rappresentato sul piano di Minkowski da una iperbole , di equazione :
[$x^2-t^2 = c^4/\alpha^2 = X^2 = (c^2/\alpha)^2 $
Ora è chiaro che al punto $D_0$ , che è in testa, compete una ascissa $X_(D_0) >X_(A_0)$ del punto $A_0$ che è in coda; entrambi i punti dell'asta (testa e coda) hanno per ipotesi
accelerazione propria costante, e quindi devono descrivere ciascuno la propria linea di universo, rappresentata dalla iperbole (in blu) passante per il rispettivo punto dell'asse $x$.
Ma è evidente che, per quanto ora detto circa le ascisse degli estremi, le due iperboli non hanno lo stesso parametro (le iperboli tracciate sono tutte asintotiche alle due bisettrici dei quadranti,in rosso, che rappresentano le geodetiche della luce $x= +-t$)
Cioè , essendo $X_(D_0) >X_(A_0)$, l'accelerazione propria della testa $\alpha_(D_0)$ deve essere
minore della accelerazione propria della coda $\alpha_(A_0)$ .
Questo si verifica per tutti i punti intermedi (in figura ne ho rappresentato solo due) : l'accelerazione propria dei punti dell'asta, costante per ciascun punto dell'asta , deve tuttavia essere crescente dalla testa alla coda!
Il calcolo della accelerazione variabile lungo l'asta è riportato nella dispensa di Franklin , non la riscrivo. Ricordo solo questo.
Nel moto iperbolico relativistico, se un punto materiale avente accelerazione propria costante $g$ accelera relativisticamente rispetto ad un osservatore inerziale $O$, si dimostra che l'accelerazione rispetto ad $O$ non è costante ma è pari a :
$a = g/\gamma^3$
per cui : $g = \gamma^3a = d/(dt)(\gammav) $
integrando rispetto al tempo coordinato di $O$ : $g*t = \gammav = v/sqrt(1-v^2)$
da cui : $v = (g*t)/sqrt(1+g^2t^2) = (dx)/(dt) $
separando le variabili e integrando ancora tra $x_0$ ed $x$ generico, corrispondenti agli istanti $t=0$ e $t$ generico, si ha:
$x = x_0 + (sqrt(1 + g^2t^2) - 1)/g $
Se consideriamo ora un'asta $AB = L $ ( A davanti, B dietro, in moto nella direzione da B verso A), che cosa significa "moto di corpo rigido" per l'asta, accelerato, in RR ?
Significa che, in ogni posizione del moto esiste un riferimento di
quiete momentanea dell'asta, in cui le due estremità e quindi tutti i punti dell'asta hanno la stessa velocità rispetto ad O, e quindi non ci sono stress nell'asta, poiché ogni tratto elementare rimane di ugual lunghezza, cioè si conserva la distanza tra i punti dell'asta. In particolare, la distanza tra A e B rimane uguale a $L$, anche in moto .
Questo è il moto rigido secondo Born.1Perché questo avvenga, le accelerazioni proprie di A e di B non possono essere uguali.
Per mantenere invariata la distanza propria tra i suoi punti, la coda B dell'asta deve avere accelerazione propria maggiore di A, anzi c'è un aumento di accelerazione propria dalla estremità A all'estremità B lungo tutta l'asta. Risluta, per gli estremi :
$g_B = g_A /(1-g_aL) $
Pero, ripeto, le velocità dei punti dell'asta, in ogni istante , sono tutte uguali tra loro.(NB : $c =1$ , al denominatore c'è la quantita $(g_aL)/c^2$ )
Se al posto di $L$ si mette una distanza $d$ variabile da $0$ in A fino a $L$ in B, si ottiene la distribuzione delle accelerazioni lungo l'asta.
Quindi, pur avendo accelerazione propria crescente dalla testa alla coda, ogni elemento dell'asta non è in stato di tensione. Anzi, è proprio per non avere tensione e quindi deformazione, che B deve accelerare ( acc. propria!) di più rispetto ad A .
Ritorno alla figura. Ho tracciato un asse spaziale $x'$ , che taglia le iperboli nei punti $A_1, B_1, C_1,D_1$ . Essendo questa una famiglia di iperboli equilatere aventi gli stessi asintoti (le bisettrici in rosso) , risulta che le tangenti alle iperboli nei punti di intersezione detti
sono tutte parallele tra loro , e rappresentano la direzione coniugata $t'$ dell'asse $x'$ ; ma la direzione coniugata non è altro che l'asse del tempo $t'$ di un OI inerziale rispetto al quale i punti detti sono momentaneamente in quiete. E se queste tangenti sono parallele , l'asse $t'$ è lo stesso per tutti i punti detti . E l'inclinazione dell'asse $t'$ rispetto all'asse $t$ sappiamo che è uguale a $tg^-1v$ : perciò tutti quei punti hanno, in quell'istante, la stessa velocità istantanea rispetto all'osservatore $(t,x)$ di partenza.
In altri termini, tutti i punti dell'asta sono dotati, in ogni istante, (poiché la costruzione si può ripetere per altri assi $x'' , x''',…$ e quindi per altri assi temporali ad essi relativi )
della stessa velocità rispetto al riferimento coordinato. Scusatemi se forse ripeto più di una volta le stesse cose !
Ovviamente la velocità cambia da istante a istante, ma la cosa importante è questa : l'asta passa da un riferimento istantaneo di quiete al successivo con tutti i piccoli elementi lineari (in cui lo si può immaginare suddiviso)
che hanno la stessa velocità e quindi la stessa lunghezza di riposo . Perciò non ci sono variazioni della lunghezza di riposo dell'asta, passando da un riferimento di quiete momentanea al successivo: si può dire che
questo è un moto rigido secondo Born, ottenuto però al prezzo di dover aumentare l'accelerazione propria passando dalla testa alla coda dell'asta.
Se quest'asta fosse un'astronave molto lunga, come sarebbe la vita a bordo ?
Innanzitutto, per avere una accelerazione che aumenti dalla testa alla coda dobbiamo avere un insieme continuo di motori, disposti lungo l'asta, con ciascuno che dia una spinta un po' più grande di quello che gli sta davanti .
Nell'astronave, si vivrebbe come in un grattacielo molto alto , in cui c'è una sensibile differenza di accelerazione gravitazionale tra la cima, dove è minore, e la base. La testa dell'astronave, accelerata come vogliamo noi, sarebbe corrispondente alla cima grattacielo, e l'accelerazione "gravitazionale" equivalente sarebbe data da $c^2/X$ , cioè inversamente proporzionale all'altezza.
Domanda : che succede se i punti $A_0$ e $D_0$ anziché essere fisicamente connessi da un'asta fossero staccati, cioè indipendenti , e si muovessero con moto accelerato perfettamente uguale rispetto all' OI terrestre, pur mantenendo ciascuno la stessa accelerazione propria?
Succederebbe che rispetto all'OI terrestre le due iperboli sarebbero non più riferite agli stessi asintoti . L'iperbole di $D_0$ sarebbe uguale a quella di $A_0$ , ma semplicemente traslata in avanti di $L$ , distanza di quiete. Tale distanza sarebbe costante rispetto all' OI durante il moto. MA allora, nei vari riferimenti di quiete momentanea del punto $A$ in moto, il punto $D$ apparirebbe allontanarsi sempre di più ! Nei riferimenti di quiete momentanea , la distanza tra i due punti aumenterebbe, diventando variabile e pari a $\gamma*L$ , con $\gamma$ in aumento.
Quindi, imponendo la stessa accelerazione propria ai punti A e B, l'asta è soggetta ad una tensione e quindi a una deformazione.
Infatti, se disegnate le due iperboli parallele come detto, e da $O$ tracciate un asse spaziale $x'$ , vi accorgete che ora nei due punti di intersezione le tangenti non sono più parallele, e quella della curva davanti è più inclinata di quella della curva indietro : vuol dire che la velocità di $D$ è maggiore della velocità di $A$ , nel riferimento istantaneo di quiete del punto $A$ , a cui si riferisce l'asse $x'$ tracciato ; e la differenza di velocità aumenta sempre più .
Nel libro di W. Rindler : " Relativity, special, general, cosmological " è riportata una descrizione analoga, che riporto come immagine :
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Chiedo scusa se a volte ho ripetuto gli stessi concetti , ma non è facile.
We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.