Re: Velocità di propagazione del movimento in corpi che possiedono una certa rigidità.

Messaggioda bub » 25/09/2017, 20:30

mgrau ha scritto:Se vuoi capire qualcosa della contrazione di Lorentz dimenticati le accelerazioni.
Non è un qualcosa che agisce sulla materia e la fa contrarre, si tratta di una critica al concetto di misura, si parla di sistemi inerziali, tutta un'altra storia.


Immaginavo solo di rispolverare il vecchio sistema di misura in cui si sposta effettivamente un regolo presente in qualche sistema inerziale privilegiato senza deformarlo (in qualsiasi senso) :-D. Se si usa questa idea qua gli unici regoli che funzionano a dovere sono quelli che si ottengono tramite spostamenti rigidi (tramite il tempo misurato da questo sistema di riferimento qua) a partire da questo. Tra gli spostamenti dovrebbero essere ammissibili anche le accelerazioni, altrimenti non si potrebbe spostare un regolo dal sistema inerziale privilegiato (là è stata definita l'unità di misura spaziale) in uno che si muove a velocità v rispetto a questo. Il regolo campione poi del sistema che si muove a velocità v rispetto a quello privilegiato in cui è stata definita l'unità di misura sarebbe questo e bisognerà usare questo per misurare la velocità di qualsiasi cosa. Il tempo e gli istanti "reali" ugualmente saranno quelli degli orologi del sistema privilegiato, anche l'unità di tempo è stata scelta all'interno di questo sistema, gli altri modi di misurare lo scorrere del tempo risulterebbero in tal senso tutti apparenti e fittizi. La simultaneità tornerebbe ad essere assoluta.
Le velocità si comporrebbero poi di nuovo normalmente se si fa così e la velocità della luce non sarebbe più costante se si usano le unità di misura di tempo e spazio fisse così definite.
Comunque è un'idea trita e ritrita, lasciamo perdere.
Ultima modifica di bub il 25/09/2017, 23:16, modificato 5 volte in totale.
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Re: Velocità di propagazione del movimento in corpi che possiedono una certa rigidità.

Messaggioda Vulplasir » 25/09/2017, 20:45

Se si lascia cadere dell'acqua, l'acqua si deforma eccome, anche se si trova in un campo uniforme...
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Re: Velocità di propagazione del movimento in corpi che possiedono una certa rigidità.

Messaggioda mgrau » 25/09/2017, 22:13

Vulplasir ha scritto:Se si lascia cadere dell'acqua, l'acqua si deforma eccome, anche se si trova in un campo uniforme...


Cosa vuoi dire? Di che situazione stiamo parlando?
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Re: Velocità di propagazione del movimento in corpi che possiedono una certa rigidità.

Messaggioda Shackle » 26/09/2017, 04:40

È già stato detto che in meccanica classica il corpo rigido è un'astrazione, e ciò essenzialmente per due problemi : le deformazioni di natura elastica durante l'accelerazione, e la velocità finita di propagazione delle perturbazioni. Perciò, quando si trattano i problemi di moto del "corpo rigido" in meccanica classica, questi due problemi normalmente si ignorano.
Gli stessi problemi esistono, per uno studio relativistico dei corpi rigidi. Ma, in più, c'è la contrazione di Lorentz , che fa diminuire, in un riferimento in cui il corpo è in moto con velocità costante, la lunghezza osservata rispetto alla lunghezza propria. Questo, però,può generare confusione.
Tuttavia, si può dare una definizione di "moto rigido" secondo Born , che si occupò del problema già nel 1910 . Estesi dettagli , e la trattazione analitica, sono in questo articolo tratto dalle Mathpages di K. Brown.
La distanza di una particella , che si suppone in moto accelerato con accelerazione propria costante (questo è il caso che meglio si sa trattare analiticamente) dalle altre particelle, rimane costante in ogni sistema inerziale momentaneamente comovente con la particella stessa.

Come dice Jerrold Franklin in questo articolo , che sto scopiazzando :oops: :D , la definizione di corpo rigido, in accordo a quella di Born , è questa :

Consequently, we take as our definition of a rigid body that a rigid body retains its rest frame dimensions while in translational motion. This requires a moving rigid body to change its ‘relativistic length’ in any frame in which it is moving.

Anche Franklin assume il moto iperbolico relativistico , per ciascuna particella di cui è fatto il corpo.

Supponiamo quindi di avere un'asta, di lunghezza propria $L$ , disposta per lungo sull'asse $x$ di OI, che partendo dalla quiete si muove accelerando nella direzione della sua lunghezza.

Nella figura seguente, l'asta a riposo sull'asse $x$ è $A_0D_0$ , e ho indicato anche altri due punti intermedi $B_0 , C_0$ . L'asta si muove nella direzione positiva dell'asse $x$ , verso destra, accelerando.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


Sappiamo che il moto accelerato, con accelerazione propria costante $alpha$ , di un oggetto puntiforme è rappresentato sul piano di Minkowski da una iperbole , di equazione :

[$x^2-t^2 = c^4/\alpha^2 = X^2 = (c^2/\alpha)^2 $

Ora è chiaro che al punto $D_0$ , che è in testa, compete una ascissa $X_(D_0) >X_(A_0)$ del punto $A_0$ che è in coda; entrambi i punti dell'asta (testa e coda) hanno per ipotesi accelerazione propria costante, e quindi devono descrivere ciascuno la propria linea di universo, rappresentata dalla iperbole (in blu) passante per il rispettivo punto dell'asse $x$.
Ma è evidente che, per quanto ora detto circa le ascisse degli estremi, le due iperboli non hanno lo stesso parametro (le iperboli tracciate sono tutte asintotiche alle due bisettrici dei quadranti,in rosso, che rappresentano le geodetiche della luce $x= +-t$)

Cioè , essendo $X_(D_0) >X_(A_0)$, l'accelerazione propria della testa $\alpha_(D_0)$ deve essere minore della accelerazione propria della coda $\alpha_(A_0)$ .
Questo si verifica per tutti i punti intermedi (in figura ne ho rappresentato solo due) : l'accelerazione propria dei punti dell'asta, costante per ciascun punto dell'asta , deve tuttavia essere crescente dalla testa alla coda!

Il calcolo della accelerazione variabile lungo l'asta è riportato nella dispensa di Franklin , non la riscrivo. Ricordo solo questo.

Nel moto iperbolico relativistico, se un punto materiale avente accelerazione propria costante $g$ accelera relativisticamente rispetto ad un osservatore inerziale $O$, si dimostra che l'accelerazione rispetto ad $O$ non è costante ma è pari a :

$a = g/\gamma^3$
per cui : $g = \gamma^3a = d/(dt)(\gammav) $
integrando rispetto al tempo coordinato di $O$ : $g*t = \gammav = v/sqrt(1-v^2)$
da cui : $v = (g*t)/sqrt(1+g^2t^2) = (dx)/(dt) $
separando le variabili e integrando ancora tra $x_0$ ed $x$ generico, corrispondenti agli istanti $t=0$ e $t$ generico, si ha:

$x = x_0 + (sqrt(1 + g^2t^2) - 1)/g $

Se consideriamo ora un'asta $AB = L $ ( A davanti, B dietro, in moto nella direzione da B verso A), che cosa significa "moto di corpo rigido" per l'asta, accelerato, in RR ?
Significa che, in ogni posizione del moto esiste un riferimento di quiete momentanea dell'asta, in cui le due estremità e quindi tutti i punti dell'asta hanno la stessa velocità rispetto ad O, e quindi non ci sono stress nell'asta, poiché ogni tratto elementare rimane di ugual lunghezza, cioè si conserva la distanza tra i punti dell'asta. In particolare, la distanza tra A e B rimane uguale a $L$, anche in moto . Questo è il moto rigido secondo Born.1
Perché questo avvenga, le accelerazioni proprie di A e di B non possono essere uguali. Per mantenere invariata la distanza propria tra i suoi punti, la coda B dell'asta deve avere accelerazione propria maggiore di A, anzi c'è un aumento di accelerazione propria dalla estremità A all'estremità B lungo tutta l'asta. Risluta, per gli estremi :

$g_B = g_A /(1-g_aL) $

Pero, ripeto, le velocità dei punti dell'asta, in ogni istante , sono tutte uguali tra loro.(NB : $c =1$ , al denominatore c'è la quantita $(g_aL)/c^2$ )


Se al posto di $L$ si mette una distanza $d$ variabile da $0$ in A fino a $L$ in B, si ottiene la distribuzione delle accelerazioni lungo l'asta.
Quindi, pur avendo accelerazione propria crescente dalla testa alla coda, ogni elemento dell'asta non è in stato di tensione. Anzi, è proprio per non avere tensione e quindi deformazione, che B deve accelerare ( acc. propria!) di più rispetto ad A .

Ritorno alla figura. Ho tracciato un asse spaziale $x'$ , che taglia le iperboli nei punti $A_1, B_1, C_1,D_1$ . Essendo questa una famiglia di iperboli equilatere aventi gli stessi asintoti (le bisettrici in rosso) , risulta che le tangenti alle iperboli nei punti di intersezione detti sono tutte parallele tra loro , e rappresentano la direzione coniugata $t'$ dell'asse $x'$ ; ma la direzione coniugata non è altro che l'asse del tempo $t'$ di un OI inerziale rispetto al quale i punti detti sono momentaneamente in quiete. E se queste tangenti sono parallele , l'asse $t'$ è lo stesso per tutti i punti detti . E l'inclinazione dell'asse $t'$ rispetto all'asse $t$ sappiamo che è uguale a $tg^-1v$ : perciò tutti quei punti hanno, in quell'istante, la stessa velocità istantanea rispetto all'osservatore $(t,x)$ di partenza.
In altri termini, tutti i punti dell'asta sono dotati, in ogni istante, (poiché la costruzione si può ripetere per altri assi $x'' , x''',…$ e quindi per altri assi temporali ad essi relativi ) della stessa velocità rispetto al riferimento coordinato. Scusatemi se forse ripeto più di una volta le stesse cose !
Ovviamente la velocità cambia da istante a istante, ma la cosa importante è questa : l'asta passa da un riferimento istantaneo di quiete al successivo con tutti i piccoli elementi lineari (in cui lo si può immaginare suddiviso) che hanno la stessa velocità e quindi la stessa lunghezza di riposo . Perciò non ci sono variazioni della lunghezza di riposo dell'asta, passando da un riferimento di quiete momentanea al successivo: si può dire che questo è un moto rigido secondo Born, ottenuto però al prezzo di dover aumentare l'accelerazione propria passando dalla testa alla coda dell'asta.

Se quest'asta fosse un'astronave molto lunga, come sarebbe la vita a bordo ?
Innanzitutto, per avere una accelerazione che aumenti dalla testa alla coda dobbiamo avere un insieme continuo di motori, disposti lungo l'asta, con ciascuno che dia una spinta un po' più grande di quello che gli sta davanti .

Nell'astronave, si vivrebbe come in un grattacielo molto alto , in cui c'è una sensibile differenza di accelerazione gravitazionale tra la cima, dove è minore, e la base. La testa dell'astronave, accelerata come vogliamo noi, sarebbe corrispondente alla cima grattacielo, e l'accelerazione "gravitazionale" equivalente sarebbe data da $c^2/X$ , cioè inversamente proporzionale all'altezza.

Domanda : che succede se i punti $A_0$ e $D_0$ anziché essere fisicamente connessi da un'asta fossero staccati, cioè indipendenti , e si muovessero con moto accelerato perfettamente uguale rispetto all' OI terrestre, pur mantenendo ciascuno la stessa accelerazione propria?
Succederebbe che rispetto all'OI terrestre le due iperboli sarebbero non più riferite agli stessi asintoti . L'iperbole di $D_0$ sarebbe uguale a quella di $A_0$ , ma semplicemente traslata in avanti di $L$ , distanza di quiete. Tale distanza sarebbe costante rispetto all' OI durante il moto. MA allora, nei vari riferimenti di quiete momentanea del punto $A$ in moto, il punto $D$ apparirebbe allontanarsi sempre di più ! Nei riferimenti di quiete momentanea , la distanza tra i due punti aumenterebbe, diventando variabile e pari a $\gamma*L$ , con $\gamma$ in aumento.
Quindi, imponendo la stessa accelerazione propria ai punti A e B, l'asta è soggetta ad una tensione e quindi a una deformazione.

Infatti, se disegnate le due iperboli parallele come detto, e da $O$ tracciate un asse spaziale $x'$ , vi accorgete che ora nei due punti di intersezione le tangenti non sono più parallele, e quella della curva davanti è più inclinata di quella della curva indietro : vuol dire che la velocità di $D$ è maggiore della velocità di $A$ , nel riferimento istantaneo di quiete del punto $A$ , a cui si riferisce l'asse $x'$ tracciato ; e la differenza di velocità aumenta sempre più .

Nel libro di W. Rindler : " Relativity, special, general, cosmological " è riportata una descrizione analoga, che riporto come immagine :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
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Chiedo scusa se a volte ho ripetuto gli stessi concetti , ma non è facile.

Note

  1. Attenzione , questo non significa che l'asta non subisce la contrazione di Lorentz rispetto ad O ! La subisce eccome, e in aumento con l'aumento di velocità .
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Re: Velocità di propagazione del movimento in corpi che possiedono una certa rigidità.

Messaggioda bub » 28/09/2017, 14:20

Davvero molto interessante Shackle. In pratica (x', t') nel disegno misurerà l'asta inclinata della stessa lunghezza L che misura (x, t) e misurerà la velocità dei punti inclinati come nulla. Giusto? Ho capito bene?

Se si tracciasse il grafico relativamente a (x', t') (con gli assi ortogonali però) verrebbero fuori le stesse iperbole blu di (x, t).
Dal disegno si capisce che i punti della barretta in lungo posizionata sull'asse x hanno velocità nulla in (x, t), avverrebbe la stessa cosa in (x', t').

Ma affermare che questo corpo è rigido non equivale ad affermare implicitamente che la distanza "più reale" tra i corpi in termini spaziali in RR è quella che si misura quando questi corpi sono praticamente fermi per un sistema inerziale? :?:

E' come se il gurardarli da fermi (velocità nulla) assicuri una rilevazione reale delle reciproche distanze. Le altre rilevazioni delle distanze sembrano più "apparenti" che reali.
La barretta spinta in questo modo non si romperebbe... Giusto? Questa qua è una cosa poi reale e non ha a che fare col modo in cui si misura la lunghezza della barretta, sincronizzazione e via dicendo, è il miglior modo per spingerla (da ferma) senza sottoporre le parti che la compongono a stress meccanici di vario tipo.

Comunque grazie davvero, una risposta davvero esauriente, chiara ed intuitiva.
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Re: Velocità di propagazione del movimento in corpi che possiedono una certa rigidità.

Messaggioda Shackle » 28/09/2017, 16:37

bub ha scritto:Davvero molto interessante Shackle. In pratica (x', t') nel disegno misurerà l'asta inclinata della stessa lunghezza L che misura (x, t) ......


Si, nel riferimento (x',t') , l'asta ha la stessa lunghezza L che ha nel riferimento (x,t), come pure in ogni altro riferimento tracciato con gli stessi criteri . Guarda il disegno di Rindler : le aste "slanted" , cioe inclinate, hanno tutte la stessa lunghezza propria , anche se sembrano allungarsi, sul disegno, a mano a mano che aumenta l'inclinazione dell'asse x' , x" , x'" ,... rispetto all'asse coordinato x . Naturalmente , la condizione da soddisfare per le accelerazioni di testa e coda e' quella detta: la coda deve avere accelerazione propria maggiore della testa , e cosi per le accelerazioni dei punti intermedi. Infatti , i punti A,B,C,D , descrivono ciascuno la propria iperbole riferita agli asintoti-luce. E tutti i punti giacenti su un certo asse x' , x'' ....hanno la stessa velocità rispetto al riferimento coordinato di partenza, poiché i rispettivi assi temporali sono tutti paralleli tra loro (v. mio disegno) . E quando gli ass temporali sono paralleli , non c'e' velocita' relativa tra loro.
Invece, le barre disegnate "orizzontali" rappresentano l'asta come viene vista dal riferimento coordinato , con contrazione crescente a mano a mano che aumenta il tempo coordinato t .

.....e misurerà la velocità dei punti inclinati come nulla.


qui non ho capito che intendi . Ma forse ti ho gia risposto sopra. La velocità "relativa" tra testa e coda e' nulla , in ogni posizione. LA velocità di tutta l'asta rispetto al rif coordinato aumenta .

Se si tracciasse il grafico relativamente a (x', t') (con gli assi ortogonali però) verrebbero fuori le stesse iperbole blu di (x, t).

Si .

Dal disegno si capisce che i punti della barretta in lungo posizionata sull'asse x hanno velocità nulla in (x, t), avverrebbe la stessa cosa in (x', t').


Si, ma e' sempre la solita questione delle velocità relative.

Ma affermare che questo corpo è rigido non equivale ad affermare implicitamente che la distanza "più reale" tra i corpi in termini spaziali in RR è quella che si misura quando questi corpi sono praticamente fermi per un sistema inerziale? :?:


La lunghezza nel proprio sistema di quiete, anche "quiete momentanea" , e' l'unica che, per qualche autore, incluso lo stesso J.Franklin, ha senso misurare. Quelle misurate da un riferimento rispetto al quale l'asta e' in moto sono lunghezze contratte, come ben sai nel caso più semplice di moto a velocità costante. Guarda il seguente paragrafo , e il disegno esplicativo, presi da un corso di lezioni dell'università di Cambridge :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine
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la lunghezza propria e' quella di destra.

E' come se il gurardarli da fermi (velocità nulla) assicuri una rilevazione reale delle reciproche distanze. Le altre rilevazioni delle distanze sembrano più "apparenti" che reali.


La maggior parte dei relativisti e' concorde nell'affermare che la contrazione delle lunghezze e' reale , non apparente. Cioe' l'asta veramente si accorcia. Dipende dal punto di vista , naturalmente, ovvero dal riferimento che fa la misura. Questo e' un punto che lascia perplessi. Se l'asta veramente si modifica , e se abbiamo due o tre osservatori dotati di velocità diverse rispetto all'asta, in conformità a quale di questi osservatori l'asta deve veramente modificarsi? Se fai ricerche in giro, ottieni risposte contrastanti. Per cui, io non mi pronuncio .... :roll: :-D

La barretta spinta in questo modo non si romperebbe... Giusto? Questa qua è una cosa poi reale e non ha a che fare col modo in cui si misura la lunghezza della barretta, sincronizzazione e via dicendo, è il miglior modo per spingerla (da ferma) senza sottoporre le parti che la compongono a stress meccanici di vario tipo.
Comunque grazie davvero, una risposta davvero esauriente, chiara ed intuitiva.


la barretta , in moto accelerato a questa maniera, non si rompe. Solo se, ripeto, si impongono alle due estremità accelerazioni proprie perfettamente identiche, e non nel rapporto anzidetto, succede che , rispetto alla estremità posteriore, quella anteriore vorrebbe andarsene sempre più avanti, perché ha velocità maggiore, oltretutto crescente, e l'asta andrebbe soggetta a stress , cioe' a tensione .

Questo e' in sostanza , il cuore del paradosso delle astronavi di Bell . Se l'asta e' sostituita da un filo con una certa lunghezza di quiete , e alle due estremità ci sono due astronavi perfettamente identiche, che accelerano alla stessa identica maniera , succede che la nave davanti si allontana da quella di dietro , e il filo si rompe prima o poi per trazione . In questa FAQ del solito Baez trovi il paradosso e la soluzione . Come vedi, il primo disegno mostra due iperboli congruenti , descritte da due navi che non sono connesse, e si muovono con accelerazioni "proprie" identiche : $ g_A = g_B$ .
Ma, rispetto all'osservatore terrestre , cioè al rif coordinato , le accelerazioni coordinate saranno uguali , ad un dato istante di tempo terrestre? L'accelerazione coordinata dipende non solo da quella propria ma anche dalla velocità istantanea , tramite il fattore $gamma$ . Deve essere :

$a_A = g_A/(gamma_A^3)$
$a_B = g_B/(gamma_B^3)$

se si vuole che sia $a_A = a_B$ , devono essere uguali anche i fattori $gamma$ e quindi , in definitiva , le velocità istantanee : $v_A = v_B$ . E allora l'osservatore terrestre che fa ? Traccia una retta orizzontale , parallela quindi al suo asse $x$ , che è per lui retta di contemporaneità , e interseca le due iperboli in due punti, e traccia le tangenti alle iperboli in questi due punti, e vede che , dal suo punto di vista, queste tangenti sono parallele , concludendo quindi che le velocità istantanee sono uguali .

Percio', pensa lui, vista da terra, la distanza tra le navi e' sempre uguale a L : nella prima figura , i segmenti paralleli ad $x$ sono sempre uguali a L .

Ed è proprio qui che l'osservatore terrestre ha sbagliato !

Guarda la prima figura : nel riferimento di Blu l'evento contemporaneo ad A e' B(rosso) , e in B la velocità di Rosso e' maggiore di quella di A : basta segnare le tangenti alle curve , e notare che formano un angolo tra loro. Ancora peggio va quando Blu si trova in P , perché Rosso si trova in Q ....

Il paradosso sta tutto qui : l'osservatore terrestre afferma che per lui la distanza tra le navi rimane sempre uguale ad L , le velocità istantanee sono sempre uguali, e cosi pure le accelerazioni coordinate istantanee . E sbaglia, perché nel riferimento della nave di dietro quella davanti si allontana sempre di più : la relatività della contemporaneità si è manifestata ancora una volta. Un relativista avrebbe tutto il diritto/dovere di chiedere all'osservatore terrestre : ma scusa, se le due navi sono in moto, rispetto a te, come fa la loro distanza a rimanere sempre la stessa, secondo te ? Dove è finita la contrazione di L. ?

LA seconda figura , invece, e' identica alle iperboli di Rindler, di cui abbiamo gia parlato.
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