Potenza di un motore a razzo

[mgrau]

La recente e combattutissima questione sulla potenza dell'ascensore mi ha fatto sorgere un dubbio che non sono in grado di risolvere.
Se abbiamo un razzo, che espelle una certa quantità di gas al secondo, $(dm)/(dt)$, con una certa velocità $v_0$, si trova che la spinta comunicata al corpo del razzo è $F = (dm)/(dt)v_0$.
Questa spinta dà luogo ad una accelerazione del corpo del razzo - fra l'altro crescente, perchè la massa a cui si applica decresce, ma questo è inessenziale - che quindi acquista velocità.
Il punto di applicazione della forza è fisso sul razzo, per cui la potenza, vista come $F*v$, cresce.
Ora, io mi immagino la potenza di un motore come una sua caratteristica intrinseca, quindi costante. Del resto il razzo funziona, per tutto il tempo in cui resta acceso, sempre allo stesso modo, consuma la stessa quantità di carburante al secondo. Allora, come è possibile che la potenza sviluppata cresca? E' sbagliata la relazione $F*v$? Non è vero che la potenza è una caratteristica del motore? O la potenza dipende dal sistema di riferimento (già questo sembra più sensato)? O cosa?

[Pazzuzu]

Mi sembra tu stia divagando un pò a caso, prima si formulano tutte le ipotesi, poi si arriva a delle conclusioni.
Dato un razzo (assimilabile ad un serbatoio di carburante) nello spazio, in cui non agisca nessuna forza esterna su di esso, è possibile scegliere una superficie di controllo CS (a cui risulta associato un volume di controllo CV) che coincida con la superficie del razzo e applicare l'equazione di Reynolds :
$ sum(F_(ext))_(sys) = d/dtint_(CV)\rho \vec{V} dVol + int_(CS) \rho \vec{V} (\vec{V_r} \cdot \vec{n}) dS $
dove per ipotesi $ sum(F_(ext))=0$ e$ d/dtint_(CV)\rho \vec{V} dVol $ non è altro che la variazione della quantità di moto delle particelle facente parti del volume di controllo $\rightarrowd/dtint_(CV)\rho \vec{V} dVol=d/dt(m\vecV)_(CV)$ . Inoltre $\vecV$ è il campo di moto misurato rispetto ad un sistema inerziale e $\V_r$ è il campo di moto misurato rispetto ad un sistema di riferimento solidale alla superficie di controllo CS. La variazione della quantità di moto delle particelle del volume di controllo ,secondo Newton , è uguale alla sommatoria delle forze agenti sul volume di controllo (la forza che spinge il razzo, se si vuole essere profani). Dunque :
$F_(thrust) = - int_(CS) \rho \vec{V} (\vec{V_r} \cdot \vec{n}) dS$

In generale, semplificando l'analisi ammettendo che $\rho$ sia costante, la forza che si scambiano il razzo e i gas di scarico non è costante. Questo risultato può apparire a prima vista controintuitivo ma è corretto, infatti la forza applicata sul razzo dai gas di scarico è uguale al flusso netto di quantità di moto attraverso la superficie di controllo.
Puoi partire dalla formula di Reynolds e da queste deduzioni per toglierti i rimanenti dubbi sulla potenza ( anche se non capisco se tu stessi parlando di un caso idealizzato o di un motore reale).

[Faussone]

Sì infatti la potenza di un motore a reazione cresce con la velocità in generale.
Per questo per i motori a reazione non ha molto senso parlare di potenza massima visto che questa dipende fortemente dalla velocità, di solito si indica la spinta massima che è un parametro più significativo.
[In ogni caso un motore a reazione non può accelerare all'infinito (posto di essere nello spazio vuoto, perchè altrimenti anche la resistenza dell'aria cresce con la velocità), visto che c'è il problema del carburante da portarsi dietro che non è infinito...]

[mgrau]

Ringrazio entrambi per le risposte.
Quanto a quella di Pazzuzu, devo purtroppo ammettere che non ho capito niente. Troppo difficile per me.
Riguardo alla reprimenda iniziale

Mi sembra tu stia divagando un pò a caso, prima si formulano tutte le ipotesi, poi si arriva a delle conclusioni.

vedrò di emendarmi.

Quanto a quella di Faussone, va bene, non si parla di potenza ma di spinta, ma mi sembra un po' un eludere il problema: la potenza è un rispettabile concetto fisico, lavoro nell'unità di tempo, se cresce con la velocità, allora anche il lavoro fornito cresce con la velocità? Ma il motore brucia sempre la stessa quantità di carburante... sembrerebbe che il bilancio energetico ne esca male. Mi viene l'idea che le cose potrebbero andare a posto tenendo conto dell'energia cinetica dei gas espulsi - come certamente si deve fare - forse la derivata sul tempo dell'energia cinetica totale è costante, come a priori mi aspetterei , ma faccio fatica a sviluppare i calcoli.

[Pazzuzu]

la potenza è un rispettabile concetto fisico, lavoro nell'unità di tempo, se cresce con la velocità, allora anche il lavoro fornito cresce con la velocità?

No, il lavoro fornito nell'unità di tempo cresce con la velocità.
Ammesso che la forza che si scambiano i gas e il razzo sia costante, che in un caso idealizzato è un'ipotesi accettabile, è molto più conveniente accendere il motore ad alte velocità che a basse velocità. Ovviamente il bilancio energetico deve tenere conto dell'energia cinetica dei gas.
Questo concetto è controintuitivo, ma è vero e ben documentato, quindi se il tuo intuito non ti aiuta, mettilo da parte e convincitene con la matematica. Ti invito ad informarti per esempio sull'effeto Oberth.

[maximpertinente]

Sì infatti la potenza di un motore a reazione cresce con la velocità in generale.

il lavoro fornito nell'unità di tempo cresce con la velocità.

Ammettendo una spinta costante del propulsore per tutto il tempo di esercizio dell'impulso, per quale motivo si afferma che la potenza cresce con la velocità?

[Pazzuzu]

@maximpertinente
Purtroppo le dimostrazioni tratte dai miei libri fallaci non ti convincerebbero, io ho studiato la Fisica fallace scritta da scienziati fallaci.

[maximpertinente]

@maximpertinente
Purtroppo le dimostrazioni tratte dai miei libri fallaci non ti convincerebbero, io ho studiato la Fisica fallace scritta da scienziati fallaci.

Perchè tu saresti in grado di dimostrare qualcosa?

[mgrau]

Questo concetto è controintuitivo, ma è vero e ben documentato, quindi se il tuo intuito non ti aiuta, mettilo da parte e convincitene con la matematica.

Questo è chiedermi troppo... neanche parlassimo di meccanica quantistica...

No, il lavoro fornito nell'unità di tempo cresce con la velocità.

Forse ho capito dove sta l'inghippo. Il lavoro fornito AL RAZZO cresce con la velocità.
Ho pensato a questo modello ipersemplificato.
Due masse uguali, ferme, con una molla compressa in mezzo.
Quando la molla si distende, fornendo una energia $E$, lancia le due masse a velocità $v$ uguale dalle due parti.
L'energia $E$ si ripartisce in due parti uguali a $1/2mv^2$, ossia $E = mv^2$

Ora invece immaginiamo le stesse due masse con la molla, già in moto con velocità $v$. L'energia cinetica è $E = 1/2*2mv^2 = mv^2$
Quando la molla si distende, fornendo una energia $E$, una massa si ferma, l'altra prende la velocità $2v$. L'energia cinetica ora è $K_f = 1/2m*0 + 1/2m(2v)^2 = 2mv^2 = 2E$ cioè quella iniziale più quella fornita dalla molla. Tutto normale.
Ma se guardiamo solo la massa che viene accelerata, la prima volta $DeltaK = 1/2E$ , ma la seconda volta $DeltaK = E$.

Andando avanti. Se le due masse hanno una velocità iniziale $2v$, l'EC iniziale è $K_i = 1/2*2m*(2v)^2 = 4mv^2$
La solita molla porta le velocità a $v$ e $3v$ e l'EC finale a $K_f = 1/2mv^2 + 1/2m(3v)^2 = 5mv^2$ , $DeltaK = E$.
Però, per la massa accelerata abbiamo $K_i =1/2m(2v)^2 = 2E$ e $K_f = 1/2m(3v)^2 = 4.5mv^2$, $DeltaK = 2.5E$,
e, per la massa rallentata, $K_i = 1/2m(2v)^2 = 2E$ e $K_f = 1/2mv^2 = 0.5E$, $Delta K = -1.5E$
Alla fine si vede che, al crescere della velocità iniziale, l'energia fornita dalla molla si ripartisce in modo sempre più favorevole alla massa accelerata, addirittura TOGLIENDO energia a quella rallentata e trasferendola a quella accelerata, che quindi acquista una energia MAGGIORE di quella fornita dalla molla.

Sembra un po', se mi passate il paragone, una pompa di calore, dove il calore trasferito dalla sorgente fredda a quella calda è MAGGIORE dell'energia spesa per spostarlo...

[Pazzuzu]

Il lavoro fornito AL RAZZO cresce con la velocità.

Ma non stavamo parlando di potenza ? Perchè di sicuro la potenza fornita al razzo cresce con la velocità. Non te ne vuoi convincere Mi dispiace, ma la formula $P = \vecF \cdot \vecv$ si applica anche al razzo. Comunque, pensa al fatto che il tempo in cui la molla trasferisce la propria energia alle due masse è lo stesso sia nel caso in cui il sistema sia fermo che nel caso di molla e masse in movimento, riflettici
Mi pare che l'esempio che hai fatto della molla e delle due masse sia corretto; o più correttamente, io non ho trovato alcun errore. Comunque, per chiarire le idee, fornisco una dimostrazione (non esattamente rigorosa, ma servirà a capire) :
Un razzo inizialmente viaggia nello spazio a velocità $V_0$ e ha una massa $M+m$.
Supponiamo che sul razzo agisca una forza $F$ costante per un certo lasso di tempo $\Deltat$, ora dimostrerò che la variazione di energia cinetica subita dal razzo dipende dalla sua velocità prima della propulsione e che quindi, supposto $\Deltat$ costante, la potenza fornita al razzo dipende dalla sua velocità iniziale.
Scegliamo una volta per tutte $F$ e $\Deltat$, questo è possibile, infatti la forza agente sul razzo può essere considerata costante e anche i tempi di accensione del motore possono essere resi tutti uguali, basta premere il bottone "fire!" per lo stesso lasso di tempo
La variazione di velocità subita sarà : $F = (M+m/2) (\DeltaV)/(\Deltat) \rightarrow \DeltaV = F \Deltat (M+m/2)$ ***ho scelto una massa media per comodità, tanto la massa espulsa è piccola in confronto alla massa del razzo,non facciamo i pignoli!***
Come puoi vedere , la variazione di velocità non dipende dalla velocità iniziale del razzo.
Calcoliamo la variazione di energia cinetica del razzo :
$\DeltaE = 1/2 M(V_0+\DeltaV)^2-1/2MV_0^2= 1/2 M \DeltaV^2 + M V_0(\DeltaV) $
la variazione di energia cinetica del razzo è uguale al lavoro compiuto dalla forza gente su di esso:
$L= \DeltaE$
Se dividi $L$ per il tempo di variazione dell'energia cinetica , che è $\Deltat$ e abbiamo scelto costante, troverai che la potenza media fornita al razzo aumenta all'aumentare della velocità iniziale del razzo. In poche parole se accendi i motori per un secondo quando il razzo è a bassa velocità la potenza fornita al razzo è minore della potenza che gli sarebbe fornita se avessi acceso i motori, sempre per un secondo, a velocità maggiore! Il bilancio energetico ovviamente non dipende dalla velocità iniziale del razzo, e lo lascio calcolare a te. Ora dovrei averti tolto i dubbi, spero. Se vuoi dimostrazioni più rigorose ne troverai tante nei libri di meccanica orbitale e roba varia E' inutile che mi metta a fare un copia-incolla!