Campo magnetico in conduttore cilindrico

[RenzoDF]

Premesso che tralascio di indicare gli errori di battitura,

1.
Regione interna: $B(r) 2\pi r = \mu_0 i = \mu_0 j (r^2)/(R_{1}^{2})$ da cui $B(r)=(\mu_0 j r)/(2 \pi R_1^{2})$.

Direi
$B(r)=(\mu_0 i r)/(2 \pi R_1^{2})$

...Regione esterna $B(r) 2 \pi r = \mu_0 j \pi R_{1}^{2}$, da cui $B(r)=(\mu_0 j R_{1}^{2})/(2r)$.

Non vedo perché usare la densità, visto che poi dobbiamo avere una relazione nella corrente, di conseguenza, pur essendo la tua relazione corretta, scriverei

$B(r)=(\mu_0 i )/(2\pi r)$

3.
Ora la corrente è distribuita uniformemente sulla superficie del conduttore, per cui $j=i/(2 \pi R_{2} l)$, con $l$ altezza del cilindro.

Scusa ma questa relazione è priva di senso, la densità di corrente nella guaina sarà pari al rapporto fra la corrente e l'area della superficie della corona circolare che, avendo ipotizzato la guaina di spessore infinitesimo, sarà nulla e di conseguenza nella guaina avremo una densità di corrente infinita, (un miracolo H-demico ) .

... Per $r<R_1$ non dovrebbe cambiare nulla: ...

Esatto e non cambia nulla nemmeno per la regione intermedia, di conseguenza non ricommento le relazioni.

4....
$r<R_1 , u_m=(\mu_0 r^2 j^2)/(8 \pi^2 R_1^{4})$

Direi
$u_m=(\mu_0 r^2 i^2)/(8 \pi^2 R_1^{4})$

$R_1<r<R_2, u_m=(\mu_0 j^2 R_{1}^{4})/(8 r^2)$

Questa è corretta, ma come sopra userei la corrente, non la densità

$u_m=(\mu_0 i^2 )/(8\pi^2 r^2)$

...
Pertanto, per $r<R_1$: $U_m= \int_{0}^{R_1} u_m 2 \pi r ldr= (\mu_0 j^2 l)/(4 \pi R_{1}^{4}) \int_{0}^{R_1} r^3 dr =(\mu_0 l j^2)/(16 \pi)$

e quindi

$U_m=(\mu_0 l i^2)/(16 \pi)$

... Regione interna :

$U_m= \int_{R_1}^{R_2} u_m 2 \pi r ldr= (\mu_0 \pi j^2 l R_1)/(4) ln(R_2/R_1)$

Qui se non erro R1 dovrebbe avere esponente 4 e non 1, ad ogni modo, visto che per ricavare l'induttanza ci serve avere una espressione in $i$ e non in $j$, scriverei

$U_m=(\mu_0 l i^2 )/(4 \pi) ln(R_2/R_1)$

...
5.
Dalla relazione $U=1/2 L i^2$ ricavo l'induttanza in ciascuna regione, corretto? ...

Si.

Ora probabilmente qualche errore di battitura l'avrò fatto io, aspetto il tuo controllo.

[feddy]

Ora non riesco a rispondere poiché ho dato una rapida occhiata, domani con calma controllo tutto. Ti ringrazio infinitamente per la pazienza !