Re: Barra conduttrice in campo magnetico

Messaggioda feddy » 22/09/2017, 16:05

[youtube][/youtube]Ah già, avrei dovuto scrivere $d\vecF$.

RenzoDF ha scritto:Si, la discesa sarà esponenziale, ma con una particolare costante di tempo ed un particolare costante moltiplicativa, che puoi anche calcolare, no?


Sì sì infatti avevo scritto asintoticamente perché non avendo fatto tutti i conti non so la costante che moltiplica l'esponenziale e la costante di decadimento $\tau$. Sinceramente, vorrei farlo solo dopo essere certo che l'esercizio "senza impulso" è corretto. Non avendo soluzioni, è una cosa che mi preme parecchio, perché ho il terrore di aver commesso errori grossolani :)
Avatar utente
feddy
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1487 di 5934
Iscritto il: 26/06/2016, 00:25
Località: SISSA

Re: Barra conduttrice in campo magnetico

Messaggioda RenzoDF » 22/09/2017, 16:22

Ok, mi son trovato un PC e ora posso commentare la tua soluzione.

Diciamo che sostanzialmente hai risolto correttamente, anche se bisognerebbe aver specificato quali siano le convenzioni assunte per le varie grandezze1, per esempio per la corrente e per la velocità.

Per il punto 4, riguardo alla potenza assorbita dall'induttore, quella $P$ è semplicemente quella assorbita dall'induttore al tempo $t$, non "per portare la corrente" da $i$ a $i+di$, in quanto questa variazione di corrente corrisponde all'energia infinitesima $dW=P(t)dt=Li(t)di$; energia elementare che, integrata nel tempo da $0$ a $t$ porta alla classica relazione notevole per l'energia immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore, \(W= Li^2 /2\).

Note

  1. Magari con un bel disegno in FidoCadJ- :wink:
Ultima modifica di RenzoDF il 22/09/2017, 16:59, modificato 1 volta in totale.
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
RenzoDF
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3790 di 15468
Iscritto il: 06/08/2014, 09:08

Re: Barra conduttrice in campo magnetico

Messaggioda feddy » 22/09/2017, 16:58

Grazie mille per la pazienza !

RenzoDF ha scritto:Per il punto 4, riguardo alla potenza assorbita dall'induttore, quella P è semplicemente quella assorbita dall'induttore al tempo t, non "per portare la corrente" da i a i+di, in quanto questa variazione di corrente corrisponde all'energia infinitesima dW=P(t)dt=Li(t)di; energia elementare che, integrata nel tempo da 0 a t porta alla classica relazione notevole per l'energia immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore, W=Li2/2.


Tutto chiaro, perfetto.

Ecco la mia risoluzione al problema precedente, considerando la presenza di un impulso iniziale che imprime alla sbarra la velocità $v_0$.

La forza elettromotrice indotta sarà una $\xi=\xi(t)=(-Bav(t))$. Tramite la relazione $i(t)=(\xi(t)) / R$ ricavo che la forza agente sulla barretta conduttrice è data da $vecF=-(B^2a^2v(t))/R$.
L'origine fisica di questa f.e.m è la forza di Lorentz che agisce sui portatori di carica in moto.

A questo punto, dato che $vecF= m (dv)/dt$, si ha
$(dv)/(v(t)) = -(B^2 a^2 dt )/(Rm)$


Condizioni iniziali: per $t=0$, ho $v(0)=v_0$. Integrando trovo:
$v(t)=v_0 e^{-(B^2 a^2 t)/(Rm)}$


Perciò $i(t)=(Bav_0)/(R) e^{-(B^2 a^2 t)/(Rm)}$. Pertanto la costante di decadimento $\tau=(Rm)/(B^2 a^2 )$.

Inoltre, noto che $i(0)=(Bav_0)$, intensità di corrente appena chiudo il circuito.


In presenza di induzione, scrivo la legge di Ohm per tale circuito: $\xi = Ri + L (di)/dt$, con il secondo termine che rappresenta la fem di autoinduzione.

A questo punto, mi sorge un dubbio: il termine $\xi$ è lo stesso che ho ricavato prima? Perché la $\xi$ era in realtà $\xi(t)=-(Bav(t))/R$ e si vede che dipende dalla velocità che avevo ricavato prima imponendo $vecF=mveca$. Non so come procedere per risolverlo perché se la $\xi$ fosse costante sarebbe perfetto e l'equazione si riesce a integrare per separazione delle variabili, ma in questo caso non mi sembra la strada corretta.

(in realtà non abbiamo mai trattato questo caso...ma ora sono curioso :lol: )
Ultima modifica di feddy il 22/09/2017, 17:44, modificato 1 volta in totale.
Avatar utente
feddy
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1488 di 5934
Iscritto il: 26/06/2016, 00:25
Località: SISSA

Re: Barra conduttrice in campo magnetico

Messaggioda RenzoDF » 22/09/2017, 17:42

... occhio a quel diviso R per la fem ... :wink:

feddy ha scritto:... In presenza di induzione, scrivo la legge di Ohm per tale circuito: $\xi = Ri + L (di)/dt$, con il secondo termine che rappresenta la fem di autoinduzione.
A questo punto, mi sorge un dubbio: il termine $\xi$ è lo stesso che ho ricavato prima? Perché la $\xi$ era in realtà $\xi(t)=-(Bav(t))/R$ e si vede che dipende dalla velocità che avevo ricavato prima


Beh, la forza è funzione di i(t) e di conseguenza lo è l'accelerazione a(t), se ti serve la velocità per la fem non dovrai far alto che usare la classica relazione

$v(t)=v_0+\int_{0}^{t}a(t)\text{d}t$

per scrivere il primo membro, ottenendo un'equazione integro-differenziale in i(t), facilmente risolubile.
Ultima modifica di RenzoDF il 22/09/2017, 17:50, modificato 2 volte in totale.
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
RenzoDF
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3791 di 15468
Iscritto il: 06/08/2014, 09:08

Re: Barra conduttrice in campo magnetico

Messaggioda feddy » 22/09/2017, 17:43

Ops errore di battitura ;) In realtà i conti li ho fatti col valore corretto.
E che mi dici per l'ultima parte, quella con l'induttanza? :)
Avatar utente
feddy
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1489 di 5934
Iscritto il: 26/06/2016, 00:25
Località: SISSA

Re: Barra conduttrice in campo magnetico

Messaggioda feddy » 22/09/2017, 18:07

Grazie mille ! Un'ultima cosa: ho capito la relazione che usi, ma non riesco a vedere come scrivere il primo membro di $\xi=Ri(t)+L (di)/dt$.
Avatar utente
feddy
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1490 di 5934
Iscritto il: 26/06/2016, 00:25
Località: SISSA

Re: Barra conduttrice in campo magnetico

Messaggioda RenzoDF » 22/09/2017, 18:22

Quell'equazione puoi scriverla come

$Ba(v_0- \int_{0}^{t}\frac{Bai(t)}{m}\text{d}t)=Ri(t)+L\frac{\text{d} i(t)}{\text{d} t} $

e da questa derivando a primo e secondo membro avrai un'equazione differenziale del secondo ordine in i(t), facilmente risolubile.
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
RenzoDF
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3792 di 15468
Iscritto il: 06/08/2014, 09:08

Re: Barra conduttrice in campo magnetico

Messaggioda feddy » 22/09/2017, 22:52

Azz, ero proprio fuso! :) Tutto il resto dovrebbe essere corretto a mio parere, confermi? :prayer:

Ok quindi derivando ottengo $(- B^2 a^2 i (t)) / m = R i'(t) + L i''(t)$. Ti sono infinitamente grato ;)
Avatar utente
feddy
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1491 di 5934
Iscritto il: 26/06/2016, 00:25
Località: SISSA

Re: Barra conduttrice in campo magnetico

Messaggioda RenzoDF » 22/09/2017, 23:09

:smt023
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
RenzoDF
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3793 di 15468
Iscritto il: 06/08/2014, 09:08

Re: Barra conduttrice in campo magnetico

Messaggioda feddy » 22/09/2017, 23:40

Troppo gentile :partyman:
Avatar utente
feddy
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1493 di 5934
Iscritto il: 26/06/2016, 00:25
Località: SISSA

Precedente

Torna a Fisica, Fisica Matematica, Fisica applicata, Astronomia

Chi c’è in linea

Visitano il forum: mgrau e 1 ospite