Legge di Faraday e paradossi della propagazione di campi a velocità finita

[DDosF]

Ciao a tutti!
E' da diverso tempo che mi attanaglia questo dubbio a cavallo tra Fisica (elettromagnetismo) e Analisi (teoremi sui campi vettoriali), spero di rendere comprensibile la domanda.

Partiamo dalla legge di Faraday $f.e.m. = - (dPhi)/(dt)$ (solo le variazioni di flussi concatenati creano forza elettromotrice indotta).
Consideriamo però un campo non concatenato e una sua linea di campo che taglia in due punti la superficie che ha come bordo la curva lungo cui stiamo calcolando l'integrale circuitale, alla quale curva perciò il campo non è concatenato.
(Vi allego un'immagine della situazione, magari può aiutare a farmi capire meglio).
Se questo campo varia, la variazione di flusso e dunque la f.e.m. indotta è zero perché i contributi si elidono preservando la correttezza della legge di Faraday.
Questo però è vero solo se ammettiamo che la variazione si propaghi istantaneamente, ma come sappiamo il campo elettromagnetico ha velocità di propagazione finita.
Dunque considerando una superficie con una specifica forma, avremo per un intervallo di tempo lungo a piacere una f.e.m. indotta "fittizia" (perché in quell'intervallo di tempo le variazioni di flusso non si elidono), che però in quel tempo (stando alla legge di Faraday) un effetto fisico reale lo genera.
Si giunge quindi al paradosso di un campo non concatenato che genera una f.e.m. indotta.

Ampliando il ragionamento, tutta la matematica dei campi vettoriali con gli annessi teoremi (Divergenza, Rotore, Stokes) considera (ditemi se sto sbagliando) campi le cui variazioni si propagano istantaneamente in tutto il dominio di definizione, come si può conciliare ciò con la velocità di propagazione finita del campo elettromagnetico?

Sicuramente mi sta sfuggendo qualcosa o ho impostato il problema in modo errato, perciò se qualcuno con più conoscenza di me, che sono a livello Fisica 2, dei campi elettromagnetici può aiutarmi gliene sarei immensamente grato!
Grazie in anticipo!

[Nikikinki]

Se ho capito cosa intendi credo che il nocciolo del problema sia che confondi un po' la matematica con la fisica. Tu matematicamente puoi trovare tutto ciò che è logicamente valido ma se è poi vero nella realtà te lo dice la fisica. La legge di Faraday vale UNICAMENTE se il flusso è concatenato come hai giustamente detto, però poi non puoi pretendere di ricavarci una fem se il tuo campo concatenato non lo è. Puoi applicare stokes certo, ed il risultato è matematicamente giusto ma non rappresenta fisicamente una fem tutto lì.

[DDosF]

Però i teoremi sui campi vettoriali considerano campi le cui variazioni si propagano istantaneamente in tutto il dominio di definizione dico bene? E questi teoremi sono continuamente usati nello sviluppo della teoria dell'elettromagnetismo.

[Nikikinki]

I teoremi che coinvolgono i campi partono dal presupposto che tali campi già "esistano" nel momento in cui fai il calcolo quindi sì, è come supporre che la propagazione abbia velocità infinita. Infatti in genere in prima battuta i transitori iniziali dovuti all'accensione del campo (o finali per lo spegnimento) non vengono considerati. Ciò non toglie che tu posso "avvicinarti" con il circuito da una zona priva di campo ad una in cui esso è presente: avrai un transitorio in cui il tuo circuito viene interessato sempre più dal campo finchè non si raggiunge una situazione stazionaria in cui ciò che avviene non cambia più sul lungo periodo.

PS: Inoltre se quello che ti fa paura è che per dedurre la teoria dell'elettromagnetismo si utilizzino solo concetti che implicano velocità di propagazione infinita puoi stare tranquillo che non è vero. Praticamente in tutta la teoria della radiazione ci si riferisce a campi generati da potenziali (scalre e vettoriale) detti RITARDATI che tengono appunto in considerazione il fatto che la velocità di propagazione del campo è finita.

[mgrau]

Ma, nei teoremi che citi, cosa c'entra il tempo? Mi faresti un esempio? Guarda che la legge di Faraday $f.e.m. = -(dPhi)/(dt)$ non è un teorema del calcolo vettoriale, ma una legge fisica: il teorema è semmai quello che di dice che l'integrale di linea di E è uguale all'integrale di superficie del rotore di E, ma qui di tempo non si parla.
Poi, nota anche che la legge di Faraday, è vero, non è locale, e dà luogo ai problemi che dici tu, ma la puoi ricondurre alla forza di Lorentz, che è locale, con che va tutto a posto.

[DDosF]

Ma, nei teoremi che citi, cosa c'entra il tempo? Mi faresti un esempio? Guarda che la legge di Faraday $f.e.m. = -(dPhi)/(dt)$ non è un teorema del calcolo vettoriale, ma una legge fisica: il teorema è semmai quello che di dice che l'integrale di linea di E è uguale all'integrale di superficie del rotore di E, ma qui di tempo non si parla.
Poi, nota anche che la legge di Faraday, è vero, non è locale, e dà luogo ai problemi che dici tu, ma la puoi ricondurre alla forza di Lorentz, che è locale, con che va tutto a posto.

Si certo certo, quello che mi lasciava in dubbio era più che l'altro il massiccio utilizzo di teoremi del calcolo vettoriale nei quali i campi considerati sono campi le cui variazioni si propagano istantaneamente in tutto il dominio di definizione.
Quello che non mi andava tanto giù era la modellizzazione di campi che si propagano a velocità finita come i campi elettromagnetici con oggetti matematici quali i campi vettoriali in cui le variazioni si propogano istantaneamente in tutto il dominio di definizione, però devo dire che la risposta di Nikikinki mi ha messo in pace con me stesso.

[DDosF]

I teoremi che coinvolgono i campi partono dal presupposto che tali campi già "esistano" nel momento in cui fai il calcolo quindi sì, è come supporre che la propagazione abbia velocità infinita. Infatti in genere in prima battuta i transitori iniziali dovuti all'accensione del campo (o finali per lo spegnimento) non vengono considerati. Ciò non toglie che tu posso "avvicinarti" con il circuito da una zona priva di campo ad una in cui esso è presente: avrai un transitorio in cui il tuo circuito viene interessato sempre più dal campo finchè non si raggiunge una situazione stazionaria in cui ciò che avviene non cambia più sul lungo periodo.

PS: Inoltre se quello che ti fa paura è che per dedurre la teoria dell'elettromagnetismo si utilizzino solo concetti che implicano velocità di propagazione infinita puoi stare tranquillo che non è vero. Praticamente in tutta la teoria della radiazione ci si riferisce a campi generati da potenziali (scalre e vettoriale) detti RITARDATI che tengono appunto in considerazione il fatto che la velocità di propagazione del campo è finita.

Perfetto, era proprio quello che volevo sentire! Grazie
Perciò è giusto considerare i campi vettoriali dell'analisi come campi "a velocità di propagazione infinita" oppure probabilmente la domanda è mal posta?