Esercizio esame elettrostatica con polarizzazione e dielettrico

Messaggioda feddy » 25/09/2017, 12:04

Salve a tutti, mi servirebbe una conferma o correzione sulla mia risoluzione di questo testo d'esame



Immagine


Ecco la mia idea:

1.
Sulla parete interna compare la carica $\sigma^{-}=-\sigma$ mentre una carica opposta compare sulla superficie esterna di raggio $R_3$.

Utilizzo Gauss per calcolare il campo elettrostatico nelle varie regioni. Posto $q=\sigma * 4\piR_{1}^{2}$.

$r<R_1, E(r)=0$
$R_1<r<R_2, E(r)=(\sigma R_{1}^{2})/(\epsilon_0 r^2)$.
$R_2<r<R_3, E(r)=0$ poiché non c'è campo elettrostatico (sono dentro un conduttore in equilibrio).
$r>R_2, E(r)=(\sigma R_{3}^{2})/(\epsilon_0 r^2)$

Per il potenziale $V(r)$ prendo come riferimento $V(\infty)=0$.
Anche qui distinguo le varie aree:
$r>R_3$, $V(r)= - \int_{\infty}^{r} E(r) dr=(\sigma R_{3}^{2})/(\epsilon_0 r)$.
$R_2<r<R_3$, $V(r)= - \int_{\infty}^{r} E(r) dr - \int_{R_3}^{r} E(r) dr= (\sigmaR_{3}^{2})/(\epsilon_0)$ (il secondo intengrale è nullo in quanto in quella regione il campo è nullo.

Per le altre regioni risulta: $R_1<r<R_2, V(r)= (\sigma)/\epsilon_0 (R_3 + R_{1}^{2}/r - (R_{1}^{2})/(R_2))$

La rappresentazione grafica la ometto, mi interessa che le espressioni trovate siano corrette ;)

2.
Per il principio di sovrapposizione ho pensato che il lavoro del campo è dato da $W=W_p + W_e$, cioè dal lavoro per spostare l'elettrone più il lavoro per spostare il protone.
Chiamo $q$ il modulo della carico del protone (che è uguale a quella dell'elettrone), e considero l'elettrone in direzione radiale, posto alla "sinistra della sfera", mentre il protone a destra. Perciò la coordinata dell'elettrone sarà $(-R_p,0)$
$W_e=-q*(V(\infty)-V(-R_p))=qV(-R_p)$.

$W_p=-q*(V(\infty)-V(R_p))=qV(R_p)$

Perciò $W=-2q * (\sigma R_{3}^{2})/(\epsilon_0 R_p)$

3. Qui mi trovo in difficoltà

Se collego a terra l'armatura esterna, la superficie esterna della sfera di raggio $R_3$ diventa neutra, e quindi resta la densità $\sigma^{-}$ sulla parete interna del conduttore.

La densità di energia del campo elettrico all'esterno è nulla, mentre all'interno vale $\mu=1/2 * \epsilon_0 E^2(r)=(R_{1}^{4} \sigma^2)/(2\ epsilon_0 r^4)$. Integrando trovo l'energia, basta fare l'integrale tra $R_1$ e $R_2$ in $d \tau= 4 \pi r^2 dr$


4.
Si ha $\sigma_p=P$, con $vecP$ vettore di polarizzazione dato da $vecP=\epsilon_o(K-1) E(r)$, con $R_1<r<R_2$. La densità di cariche di polarizzazione è superficiale, nei bordi del dielettrico e ha direzione radiale uscente, come il campo $vecE$.

5.
Ho pensato di vedere il sistema come un condensatore sferico e pertanto il lavoro $W$ è dato dall'opposto della variazione di energia potenziale elettrostatica immagazzinata nel condensatore. L'energia pot elettrostatica è data da $U=q^2/(2C)$.

Domanda: avrei potuto usare anche l'espressione $U=1/2 q DeltaV$ per l'energia pot elettrostatica?

Prima di riempire ho $C_i=4 \pi \epsilon_0 (R_1 R_2)/(R_1+R_2)$, mentre una volta riempito, ho che $C_f=K C_i$

Pertanto, $W=-DeltaU_e=U_i-U_f=q^2/(2C_i) (1- 1/K)$.


Che dite, è ok? :-D
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