esercizio meccanica analitica

[cooper]

ciao a tutti. ho il seguente esercizio che fatico ad impostare.

si considerino due punti materiali pesanti P, Q, rispettivamente vincolati alle rette r ed s. la retta r è verticale, mentre s è orizzontale e sghemba rispetto ad r. i due punti sono collegati da una molla di costante elastica x e distanza a riposo nulla. su di essi agisce anche una forza parallela ad r di intensità costante E. dopo aver mostrato che tale forza è conservativa si risolvano le equazioni del moto e si classifichino gli equilibri.

avevo pensato di fare così: $P=(0,0,x_P)$ e $Q=(0,l,x_Q)$ dove $l$ rappresenta la distanza, fissata, tra le due rette e per semplicità mi metto nel caso in cui le rette formino tra loro un angolo retto.
a questo punto avrei $T=1/2(m_P dot(x_P)^2+m_Q dot(x_Q)^2)$ mentre i tre potenziali sarebbero:
elastico: $V_(el) = x/2 ||PQ||^2=x/2 (l^2 + (x_P-x_Q)^2)=x/2(x_P-x_Q)^2$
gravitazionale: $V_(gr)=-g(m_P x_P+m_Q x_Q)$
forza E: $V_E=- E(x_P+x_Q)$
pensate possa andar bene? come posso poi dimostrare la conservatività della forza?

[professorkappa]

Ci sei quasi.
Il sistema ha due gradi di liberta': la coordinata $z_P$ di P (con $x_P=y_P=0$) e la coordinata (arbitraria) $x_Q$ di Q lungo la retta s, che il testo ti da come orizzontale, quindi possiamo scegliere a piacere: $y_Q=l$ e $z_Q=0$.

La lunghezza della molla e' $d^2=(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2+(z_Q-z_P)^2=x_Q^2+l^2+z_P^2$

Il potenziale della molla e' $V_m=-1/2kd^2=-1/2k(x_Q^2+l^2+z_P^2)$

Il testo ti dice che la forza $vecF$ e' parallela alla retta orizzontale e di modulo $E$, pertanto ne consegue che $vecF=(E,0,0)$.

La conservaitivita' e' assicurata se si vericano le seguenti condizioni:

$(partial F_x)/(partial y)=(partial F_y)/(partial x)$
$(partial F_y)/(partial z)=(partial F_z)/(partial y)$
$(partial F_z)/(partial x)=(partial F_x)/(partial z)$

e con calcoli semplicissimi si verifica che queste 3 condizioni sono simultaneamente soddisfatte, e quindi la forza $vecF$ e' conservativa.

Il potenziale della forza $vecF=(E,0,0)$ e' facilmente calcolata: $V_F=-Ex_Q$, avendo assunto che il potenziale sia nullo quando $x_Q=0$con C costante.

Il potenziale dei pesi e' $-mgz$, quindi nullo per Q (dove z=0) e vale $V_P=-m_Pgz_P$ per il punto P.

Il potenziale delle forze in gioco e' dunque, semplicemente: $V=-1/2k(x_Q^2+l^2+z_P^2)-Ex_Q-mgz_P$

L'energia cinetica e' $1/2(m_Pdotz_P^2+m_Qdotx_P^2)$

Ora sei in grado di calcolare e discutere l'equilibrio?
E di impostare la lagrangiana che descrive il moto del sistema?

[cooper]

anzitutto grazie mille per la risposta! venendo al problema:

Il sistema ha due gradi di liberta': la coordinata zP di P (con xP=yP=0)

si era quello che intendevo fortunatamente, anche se per qualche ragione a me ancora sconosciuta la quota l'ho chiamata$x_P$

la coordinata (arbitraria) xQ di Q lungo la retta s, che il testo ti da come orizzontale, quindi possiamo scegliere a piacere: yQ=l e zQ=0.

questo invece no l'ho proprio sbagliato!

La lunghezza della molla e' d2=(xQ−xP)2+(yQ−yP)2+(zQ−zP)2=x2Q+l2+z2P

ok, l'avevo sbagliato perchè ho sbagliato le coordinate.

Il potenziale della molla e' Vm=−12kd2=12k(x2Q+l2+z2P)

a questo io toglierei la l così da semplificarmi un po' la notazione ed evitare eventuali errori. è corretto giusto? una costante additiva dovrebbe essere ininfluente.

La conservaitivita' e' assicurata se si vericano le seguenti condizioni:

ma certo il rotore che stupido!!!! come ho fatto a dimenticarmene!
non mi trovo però su una cosa: E è parallela ad r che però è verticale e non orizzontale. e qui quindi pensavo a questo punto potesse essere $V_F = 0$

Ora sei in grado di calcolare e discutere l'equilibrio?
E di impostare la lagrangiana che descrive il moto del sistema?

si ti ringrazio! fondamentalmente l'esercizio so svolgerlo e discuterlo ma non sapevo come descrivere i punti e quindi restavo fregato in partenza!

[professorkappa]

Per il potenziale molla: e che ti frega di semplificare la notazione? Tanto normalmente lavori con i differenziali di V, quindi le costanti, se ci sono, cascano da se'. Ho anche corretto il segno, aggiungendo il $-$ davanti.
Hai ragione per F, e' parallela a r, una svista mia. Quindi risulta $vecF=(0,0,E)$. Il potenziale, pero', non e' nullo! Quanto vale???

Se sai andare avanti, se possibile, posta il finale del ragionamento, di modo che gli altri studenti che seguono il thread abbiano un aiuto

[cooper]

Si per il potenziale mi sono fumato qualcosa ieri sera probabilmente perché ho preso $z_P=0$
Sarebbe invece $V_F=-Ez_P$
Il resto dell'esercizio allora lo posto stasera quando torno!
Grazie ancora dell'aiuto!

[cooper]

per scrivere le equazioni del moto scriviamo anzitutto la Lagrangiana: $\mathcal{L}=T-V=1/2(m_P (dotz_P)^2+m_Q (x_Q)^2)-(m_Pg+E)z_P-x/2(x_Q ^2 +l^2 +z_P ^2)$. Le equazioni di Lagrange sono:

$d/(dt)((partial \mathcal{L})/(partial dot(z_P)))-(partial \mathcal{L})/(partial z_P)$
$d/(dt)((partial \mathcal{L})/(partial dot(x_Q)))-(partial \mathcal{L})/(partial x_Q)$

che producono le due equazioni differenziali seguenti:
${(ddot(z_P)+beta z_P =-gamma),(ddot(x_Q)+alpha x_Q):}$ dove $alpha=x/m_Q$, $beta=x/m_P$ e $gamma=g+E/m_P$
risolviamo la prima delle due (equazione del secondo ordine non omogenea):
l'equazione omogenea associata ha soluzione $Asin(sqrt(beta)t)+Bcos(sqrt(beta) t)$
mentre per la soluzione particolare prendo $z_P = C = \text{cost} rArr ddot(z_P)=0$ e quindi $ C = -gamma/beta $
la soluzione quindi risulta $z_P (t) = Asin(sqrt(beta)t)+Bcos(sqrt(beta) t) - gamma/beta $
la seconda è invece del secondo ordine omogenea la cui soluzione è quindi $ x_Q (t) = Csin(sqrt(alpha)t)+D cos(sqrt(alpha)t) $
per i punti di equilibrio devo annullare il gradiente del potenziale rispetto alle due coordinate lagrangiane. quindi:
$(partial V)/(partial z_P)=mg+E+x z_P$ e $(partial V)/(partial x_Q)=x x_Q$ quindi il punto di equilibrio è $z_P = - (mg+E)/x ^^ x_Q =0$
per vederne la stabilità studio l'hessiano:
$H=|( x , 0 ),( 0, x )|=x^2 > 0$ e poichè $x > 0$ esso risulta un minimo e quindi è stabile.

[professorkappa]

Mi sembra tutto ottimo e corretto, a parte il fatto che hai cambiato di segno del potenziale V, e dunque hai annullato l'ENERGIA potenziale.
Un punto di minimo del potenziale darebbe equilibrio instabile. Quello che trovi e' il minimo dell'en. potenziale, per cui il sistema e' in verita' stabile.

Bravo

[cooper]

Un punto di minimo del potenziale darebbe equilibrio instabile. Quello che trovi e' il minimo dell'en. potenziale, per cui il sistema e' in verita' stabile

hai ragione, faccio sempre così ma non lo preciso mai.
grazie ancora per l'aiuto!

[professorkappa]

Any time.