Propagazione errori nelle misure.

[Colorino]

Salve! Non so se questo sia il posto corretto dove postare. Ho un quesito di fisica di base, o meglio di espressione corretta del risultato di una serie di misure, che è argomento della scuola secondaria.
In particolare, il mio problema è il seguente.
Supponiamo di fare delle misurazioni dell'altezza degli alunni di una classe (supponiamo siano 10).
Per ciascun alunno faccio 6 misurazioni; calcolo il valore attendibile tramite media aritmetica e la semidispersione, e il risultato delle mie misure è dato dalla somma del valore attendibile e dell'errore.
Se ripeto il procedimento per ciascun alunno, dopo aver fatto medie e calcolo errore, posso esprimere ciascuna misura così:
$a_1 = \overline{a_1} \pm e_1$
$a_2 = \overline{a_2} \pm e_2$ eccetera sino ad $a_{10}$.

Ora, il mio quesito è il seguente. Se io volessi calcolare la media della classe, come faccio? Due ipotesi:
1) (Mi sembra sbagliata ma la dico lo stesso) Uso tutte le misure già fatte in precedenza, quindi facendo la media tra 6 misure per 10 ragazzi (diviso 60), e lo stesso per il calcolo della semidispersione.

2) (Mi sembra più logica ma non so bene come procedere. ) Faccio la media tra quelle già ottenute, quindi $a_1, \ldots, a_{10}$.
Ora, in questo caso non sono certissimo di come agire sulla semidispersione. Ragionando con solo due misure, userei la regola che si usa nella propagazione degli errori. In questo caso abbiamo media aritmetica di misure, quindi somma e divisione per una costante k. Mi pare che il discorso si possa estendere al caso della media aritmetica di $n$ misure in modo naturale.
Pertanto, senza necessità di passare all'errore relativo, chiamando il valore attendibile delle medie $\overline {\overline a}$:
- lo calcolo come media aritmetica di $\overline {a_1}, \ldots, \overline{a_{10}}$
- calcolo la semidispersione prima come somma delle semidispersioni, poi divido per 10 (quindi di fatto, faccio la media delle semidispersioni)

Ha senso oppure c'è un altro modo?
Spero di aver spiegato il problema in modo comprensibile!

Grazie a chi saprà darmi una mano.

[singularity]

Ciao! Il quesito è interessante, è un "must" di chi inizia a studiare analisi degli errori. Il mio consiglio è: prova a fare in entrambi i modi e vedi se i risultati vengono uguali o diversi tra loro e, in base a ciò, fai le tue considerazioni. Poi le posti qui e vediamo se sono corrette

[Colorino]

Salve! Innanzitutto grazie per la risposta. Nel frattempo ho riflettuto ulteriormente alla questione, e sono giunto a questa conclusione (che potrebbe essere errata... ).
La prima strada che avevo pensato per il calcolo della propagazione dell'errore, secondo me, non ha molto senso. L'errore assoluto quando è calcolato per un set di misurazioni della stessa grandezza mi dà un'idea dell'incertezza dovuta agli errori accidentali.
Ma se io voglio calcolare l'altezza media degli alunni di una classe (quindi media delle medie delle 6 misurazioni per ogni alunno), se io calcolassi l'errore assoluto con la semidispersione delle 60 misurazioni non avrebbe alcun senso. In questo caso, la differenza tra la misura più piccola rilevata e quella più grande è plausibilmente dovuta non ad un errore accidentale (si spera!) ma alla differenza di altezza dei ragazzi.

Ergo, il succo è che, a mio avviso, la procedura più logica è la seguente:
1) Per ogni alunno, scrivo l'altezza come risultato di 6 misure (valore attendibile + errore assoluto).
2) Calcolo l media della classe:
- Media dei valori attendibili
- Media degli errori assoluti

Ho provato in questo modo e mi sembra ragionevole.
Non mi sono invece cimentato nel primo metodo poiché, per quanto detto sopra, mi sembra poco sensato.
Se però la mia riflessione è lacunosa o ritieni che abbia senso provare, provo!
Non riuscirò però a postare i risultati prima di domenica (non tanto per i calcoli, quanto per il tempo che ci impiegherei a trascriverli in LaTex )

Cosa ne pensi della mia ipotesi?

Grazie ancora e buona serata.

[singularity]

Ciao! Rispondo velocemente perché non dispongo del pc adesso, ma non voglio lasciarti "appeso".

Come hai notato tu, le incertezze in questo caso sono di due tipi diversi: incertezze statistiche e incertezze strumentali. In generale le prime sono molto più grandi delle seconde, al punto che, in situazioni simili alla tua, le incertezze strumentali (pur propagate in tutti i calcoli che devi fare) sono trascurabili rispetto a quelle statistiche.

In ogni caso, mi sembra di capire che qui siamo interessati ad una media tra diverse altezze di individui. Quindi quello che vuoi ottenere è un numero finale (la media) affiancata da un errore (deviazione standard della media). A rigore ciò che dovresti fare sarebbe propagare gli errori attraverso i calcoli della media e fare ANCHE la deviazione standard della media, e, in teoria, sommarli. Come ti dicevo però, di solito gli errori strumentali sono trascurabili rispetto a quelli statistici, quindi è sufficiente calcolare media e SD.

Fammi sapere se hai altri dubbi, appena posso ti rispondo meglio.