Gradiente del potenziale elettrico

Messaggioda wanderer » 05/10/2017, 22:26

Salve,
ho appena cominciato il corso di Fisica 2, e sto cercando di capire meglio perché, da un punto di vista rigorosamente matematico, il gradiente del potenziale elettrico è uguale al campo elettrostatico cambiato di segno. Il mio libro (Mazzoldi) procede in questo modo:

\( dV = - \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dr} = -E_x dx -E_y dy -E_y dy\)

Poi, per il teorema del differenziale totale:

\( dV = \frac{\partial V}{\partial x} dx + \frac{\partial V}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial z} dz \ \ \Rightarrow \overrightarrow{E} = -\nabla V \)

In che modo applica il teorema del differenziale totale? Perché la funzione potenziale elettrico verifica tutte le ipotesi del teorema?
Grazie dell'attenzione :D
wanderer
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 100 di 306
Iscritto il: 16/12/2015, 19:38

Re: Gradiente del potenziale elettrico

Messaggioda professorkappa » 05/10/2017, 22:37

E' la definizione di differenziale di piu' variabili. La applica para para, e poi per confronto con la devizione di potenziale sopra trove che E e' meno nabla V
La mitologia greca e' sempre stata il mio ginocchio di Achille
professorkappa
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2442 di 8964
Iscritto il: 05/10/2014, 06:41

Re: Gradiente del potenziale elettrico

Messaggioda Vulplasir » 05/10/2017, 22:45

sto cercando di capire meglio perché, da un punto di vista rigorosamente matematico, il gradiente del potenziale elettrico è uguale al campo elettrostatico cambiato di segno


Per definizione di campo conservativo?
Avatar utente
Vulplasir
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3645 di 10954
Iscritto il: 13/08/2013, 18:13
Località: Firenze

Re: Gradiente del potenziale elettrico

Messaggioda wanderer » 05/10/2017, 22:52

Ok, ma perché il potenziale elettrico è differenziabile?
wanderer
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 101 di 306
Iscritto il: 16/12/2015, 19:38

Re: Gradiente del potenziale elettrico

Messaggioda professorkappa » 05/10/2017, 23:04

Il potenziale e' sempre differenziabile essendo una funzione che si ottiene per integrazione di Fds (se F e' conservativa). Se il potenziale esiste, e' differenziabile
La mitologia greca e' sempre stata il mio ginocchio di Achille
professorkappa
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2443 di 8964
Iscritto il: 05/10/2014, 06:41

Re: Gradiente del potenziale elettrico

Messaggioda wanderer » 05/10/2017, 23:12

Grazie della risposta. Sarà il fatto che ho appena cominciato anche analisi 2, ma non mi è chiaro il nesso tra la definizione di potenziale come integrale di linea e la sua differenziabilità...
wanderer
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 102 di 306
Iscritto il: 16/12/2015, 19:38

Re: Gradiente del potenziale elettrico

Messaggioda professorkappa » 05/10/2017, 23:32

Non capisco la domanda: il potenziale e' una primitiva per definizione stessa di potenziale, Essendo una primitiva e' automaticamente differenziable
La mitologia greca e' sempre stata il mio ginocchio di Achille
professorkappa
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2444 di 8964
Iscritto il: 05/10/2014, 06:41

Re: Gradiente del potenziale elettrico

Messaggioda wanderer » 07/10/2017, 09:44

Formulo la domanda in modo più rigoroso:

sia \[ V(x_0) = \int_{C} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{ds} \tag{1} \]
con $C$ curva generica dello spazio che connette il punto $x_0$ con un punto di potenziale nullo.

La definizione di funzione differenziabile:

Una funzione $V$ dicesi differenziabile in un punto $x_0$ interno al suo dominio, se esiste $\nabla V(x_0)$ e se vale la formula
\[V(x) = V(x_0) + \nabla V(x_0) \cdot (x-x_0) + o(\| x - x_0\| ), \ \ x\rightarrow x_0 \tag{2}\]

Come si passa in modo rigoroso da $(1)$ a $(2)$?
Grazie infinite!
wanderer
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 103 di 306
Iscritto il: 16/12/2015, 19:38

Re: Gradiente del potenziale elettrico

Messaggioda Vulplasir » 07/10/2017, 11:56

È differenziabile perché tutte le "funzioni fisiche" si ritengono sufficientemente regolari da poterci applicare i teoremi del calcolo differenziale. Inoltre la teoria dei campi vettoriali conservativi ad analisi (o delle "forme esatte") si applica a campi conservativi $F$ di classe $C^1$ per i quali esiste una funzione potenziale $V$ di classe $C^2$ tale che $F=nablaV$, quindi il tuo potenziale non solo è differenziabile una volta, ma essendo $C^2$ è differenziabile almeno 2 volte.
Avatar utente
Vulplasir
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3652 di 10954
Iscritto il: 13/08/2013, 18:13
Località: Firenze


Torna a Fisica, Fisica Matematica, Fisica applicata, Astronomia

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google [Bot] e 1 ospite