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Salve,
ho appena cominciato il corso di Fisica 2, e sto cercando di capire meglio perché, da un punto di vista rigorosamente matematico, il gradiente del potenziale elettrico è uguale al campo elettrostatico cambiato di segno. Il mio libro (Mazzoldi) procede in questo modo:

\( dV = - \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dr} = -E_x dx -E_y dy -E_y dy\)

Poi, per il teorema del differenziale totale:

\( dV = \frac{\partial V}{\partial x} dx + \frac{\partial V}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial z} dz \ \ \Rightarrow \overrightarrow{E} = -\nabla V \)

In che modo applica il teorema del differenziale totale? Perché la funzione potenziale elettrico verifica tutte le ipotesi del teorema?
Grazie dell'attenzione

E' la definizione di differenziale di piu' variabili. La applica para para, e poi per confronto con la devizione di potenziale sopra trove che E e' meno nabla V

sto cercando di capire meglio perché, da un punto di vista rigorosamente matematico, il gradiente del potenziale elettrico è uguale al campo elettrostatico cambiato di segno

Per definizione di campo conservativo?

Ok, ma perché il potenziale elettrico è differenziabile?

Il potenziale e' sempre differenziabile essendo una funzione che si ottiene per integrazione di Fds (se F e' conservativa). Se il potenziale esiste, e' differenziabile

Grazie della risposta. Sarà il fatto che ho appena cominciato anche analisi 2, ma non mi è chiaro il nesso tra la definizione di potenziale come integrale di linea e la sua differenziabilità...

Non capisco la domanda: il potenziale e' una primitiva per definizione stessa di potenziale, Essendo una primitiva e' automaticamente differenziable

Formulo la domanda in modo più rigoroso:

sia \[ V(x_0) = \int_{C} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{ds} \tag{1} \]
con $C$ curva generica dello spazio che connette il punto $x_0$ con un punto di potenziale nullo.

La definizione di funzione differenziabile:

Una funzione $V$ dicesi differenziabile in un punto $x_0$ interno al suo dominio, se esiste $\nabla V(x_0)$ e se vale la formula
\[V(x) = V(x_0) + \nabla V(x_0) \cdot (x-x_0) + o(\| x - x_0\| ), \ \ x\rightarrow x_0 \tag{2}\]

Come si passa in modo rigoroso da $(1)$ a $(2)$?
Grazie infinite!

È differenziabile perché tutte le "funzioni fisiche" si ritengono sufficientemente regolari da poterci applicare i teoremi del calcolo differenziale. Inoltre la teoria dei campi vettoriali conservativi ad analisi (o delle "forme esatte") si applica a campi conservativi $F$ di classe $C^1$ per i quali esiste una funzione potenziale $V$ di classe $C^2$ tale che $F=nablaV$, quindi il tuo potenziale non solo è differenziabile una volta, ma essendo $C^2$ è differenziabile almeno 2 volte.