Conservazione energia nei moti rotatori

[matix]

Ciao, sono in 4a superiore scienze applicate. Stiamo affrontando l'argomento del moto di rotolamento, e la scorsa lezione abbiamo introdotto la conservazione dell'energia.
Quindi, se l'energia si conserva, uguaglio Ei con Ef.
Quindi:
Energia Potenziale Iniz. + K iniziale = Energia Potenziale Fin. + K finale.
Poi, K è data dalla somma di energia cinetica di rotazione, che è 1/2*MomentoInerzia*W^2, e dall'energia cinetica di traslazione, che è 1/2mv^2.
E fin qui tutto bene.
Il problema sorge perché non ho capito quando devo applicare energia cinetica traslazione, quando rotazionale, quando tutte e due.
Ad esempio, abbiamo fatto un problema nel quale una sfera rotolava partendo da ferma giù per una rampa, divisa in due parti.
La prima parte, sdruccievole, presenta attrito. La seconda parte (che inizia nel punto più basso) è invece priva di attrito.
Quindi, il professore, per quanto riguarda il punto più alto della parte sdruccievole, ha messo Energia meccanica iniziale = mg(h+r). E fin qui chiaro. Nel punto più basso, prima che finisca la parte sdruccievole e inizi quella priva di attrito, ha posto Emecc = Krot+mgr+Ktrasl. E okay.
Nel punto più in alto della parte priva di attrito, però, il K traslazione e' pari a 0. Ho chiesto delucidazioni e ha detto qualcosa riguardo allo slittamento, ma sono rimasta perplessa.
(Il problema chiedeva di trovare hf nella parte priva di attrito, avevamo massa, raggio e altezza finale) Però in se il problema è tutto chiaro, è quella parte dell'energia cinetica che non mi torna..Su internet non ho trovato un granché, qualche aiuto?
Quando si usa K traslazione, quando Krotazionale, quando nessuna delle due, e quando entrambe?
Per favore usate i termini meno tecnici possibili, fate come se steste spiegando ad un bambino

Grazie in anticipo!!

[loreeenzo]

Allora partiamo dal fatto che nella parte priva di attrita e in quella che presenta attrito, la sfera compie moti diversi. Infatti, nella parte che presenta attrito, il corpo rotola e di conseguenza devi sommare l'energia traslazionale a quella rotazionale; dove l'attrito è assente, il corpo non rotola, slitta soltanto, senza ruotare e perciò devi usare soltanto l'energia cinetica di traslazione.

[Shackle]

Allora partiamo dal fatto che nella parte priva di attrita e in quella che presenta attrito, la sfera compie moti diversi. Infatti, nella parte che presenta attrito, il corpo rotola e di conseguenza devi sommare l'energia traslazionale a quella rotazionale; dove l'attrito è assente, il corpo non rotola, slitta soltanto, senza ruotare e perciò devi usare soltanto l'energia cinetica di traslazione.

Non è vero. LA sfera rotola con velocità angolare crescente sulla parte scabra, perché la forza di attrito causa un momento di forze esterne che fa variare il momento angolare , quindi in definitiva fa aumentare la velocità angolare: è l'applicazione della seconda equazione cardinale della dinamica.

Quando la sfera passa dalla parte scabra alla parte liscia , possiede quindi una certa velocità angolare , e siccome sulla parte liscia la forza di attrito è nulla , non ci sarà più aumento di tale velocità angolare , che rimane uguale al valore che aveva nel momento del passaggio da superficie scabra a superficie liscia. Cioè la sfera continua a rotolare anche sulla parte liscia, con velocità angolare costante, slittando, e nel frattempo trasla con moto uniformemente accelerato.

Ogni volta che c'è moto traslatorio c'è energia cinetica di traslazione ; ogni volta che c'è moto rotatorio c'è energia cinetica di rotazione . Nell'esempio della sfera , l'energia cinetica di rotazione sulla parte liscia non è nulla, per quanto detto sopra.

[matix]

Okay ho capito, grazie mille
Però, se la rampa dovesse essere interamente priva di attrito, la palla slitterebbe soltanto, giusto? Quindi in questo caso solo energia cinetica di traslazione..o sbaglio?

[Shackle]

Se la rampa è completamente liscia , e la sfera viene poggiata su di essa con velocità angolare uguale a zero , non c'è forza di attrito il cui momento potrebbe far aumentare la velocità angolare .
Quindi la sfera slitta soltanto , e $K = 1/2mv^2$ , e basta. Ok .

[matix]

in caso di un'asta uniforme che fa liberamente perno attorno a un piolo (?), ruotando attorno ad esso..c'è solo energia cinetica di rotazione?

[professorkappa]

Spiegazione lunga: ogni moto puo' essere considerato roto-traslazionale. Il moto di traslazione e quello rotazionale sono semplic sottocasi.
L'informazione che non ti e' chiara, e da qui la tua ultima domanda, e' che l'energia cinetica va scritta, in generale, riferendosi al baricentro. $E=1/2I_G+1/2mv_G^2$.

Veniamo allora alla tua domanda: consideriamo l'energia dell'asta nel caso generale. Potssiamo scrivere che:

$E=1/2(mL^2/12)omega^2+1/2mv_G^2$. il momento d'inerzia e' stato calcolato rispetto al baricentro. Ma tu sai che $v_G=omegaL/2$, quindi:
$E=1/2(mL^2/12)omega^2+1/2momega^2L^2/4=1/2mL^2/3omega^2$

Adesso, invece consideriamo il moto per quello che e' in effetti: e cioe' una rotazione. La rotazione avviene attorno al perno. Quindi l'energia cinetica, di sola rotazione ora, va scritta calcolando il momento di inerzia della sbarra nel polo di rotazione. per il teorema di Huygens Steiner, questo momento e' $I_o=mL^2/12+mL^2/4=mL^2/3$
Pertanto, l'energi cinetica e' $1/2I_o omega^2=1/2mL^2/3omega^2$, esattamente lo stesso risultato.

In generale, ricorda: e' sempre meglio scrivere l'energia cinetica roto-traslazione nella forma piu' generale, a meno di casi eclatanti come questo.

Prova per curiosita' a rifare i conti per un disco che rotola senza strisciare su un piano: il disco roto-trasla, ma, istante per istante, il punto a contatto col piano e' fermo, ed e' polo (istantaneo) di rotazione. Se scrivi le 2 energie cinetiche rispetto al baricentro e rispoetto al polo di contatto, con i giusti momenti di inerzia, arriverai allo stesso risultato. Altrimenti hai sbagliato.