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Ho applicato prima il metodo della sostituzione di variabile. Ho sostituito
\(\displaystyle \frac{2\pi x}{L}=t \)
Gli estremi di integrazione diventano in questa variabile
\(\displaystyle \frac{2\pi 0}{L}=0\qquad \frac{2\pi L}{L}=2\pi \)
Derivando
\(\displaystyle \frac{2\pi dx}{L}=dt \quad \to \quad dx=\frac{L}{2\pi} dt\)
Poi semplifico un po' l'integrale
\(\displaystyle R=\rho \int_0^L \frac{1+\left|\cos \left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right|}{a}dx=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho}{a}\int_0^L \left|\cos \left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right|dx\)
E quindi applico la sostituzione:
\(\displaystyle R=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho}{a}\int_0^{2\pi}|\cos t|\frac{L}{2\pi}dt=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho L}{2\pi a}\int_0^{2\pi}|\cos t|\;dt \)
A questo punto per la periodicità della funzione trigonometrica coseno, so che posso scrivere
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}|\cos t|dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\;dt-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos t\;dt \)
Calcolando dovrebbe essere
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}|\cos t|dt=\left[\sin t\right]_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}-\left[\sin t\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\left[\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]=2+2=4 \)
E poi sostituisco
\(\displaystyle R=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho L}{2\pi a}\int_0^{2\pi}|\cos t|\;dt=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho L}{2a\pi}4 \)
Da cui ottengo
\(\displaystyle R=\frac{\rho}{a}L\cdot \left(1+\frac{2}{\pi}\right) \)
L'operazione che mi da dubbi è quella di sostituire l'integrale del valore assoluto del coseno nei due integrali dove il coseno è positivo e dove è negativo, togliendo poi il valore assoluto prendendo il segno del coseno nell'intervallo calcolato. Secondo voi tutto il risultato è giusto?
\(\displaystyle \frac{2\pi x}{L}=t \)
Gli estremi di integrazione diventano in questa variabile
\(\displaystyle \frac{2\pi 0}{L}=0\qquad \frac{2\pi L}{L}=2\pi \)
Derivando
\(\displaystyle \frac{2\pi dx}{L}=dt \quad \to \quad dx=\frac{L}{2\pi} dt\)
Poi semplifico un po' l'integrale
\(\displaystyle R=\rho \int_0^L \frac{1+\left|\cos \left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right|}{a}dx=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho}{a}\int_0^L \left|\cos \left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right|dx\)
E quindi applico la sostituzione:
\(\displaystyle R=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho}{a}\int_0^{2\pi}|\cos t|\frac{L}{2\pi}dt=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho L}{2\pi a}\int_0^{2\pi}|\cos t|\;dt \)
A questo punto per la periodicità della funzione trigonometrica coseno, so che posso scrivere
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}|\cos t|dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\;dt-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos t\;dt \)
Calcolando dovrebbe essere
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}|\cos t|dt=\left[\sin t\right]_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}-\left[\sin t\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\left[\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]=2+2=4 \)
E poi sostituisco
\(\displaystyle R=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho L}{2\pi a}\int_0^{2\pi}|\cos t|\;dt=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho L}{2a\pi}4 \)
Da cui ottengo
\(\displaystyle R=\frac{\rho}{a}L\cdot \left(1+\frac{2}{\pi}\right) \)
L'operazione che mi da dubbi è quella di sostituire l'integrale del valore assoluto del coseno nei due integrali dove il coseno è positivo e dove è negativo, togliendo poi il valore assoluto prendendo il segno del coseno nell'intervallo calcolato. Secondo voi tutto il risultato è giusto?
