Campo elettrico sfera conduttrice

[TheDroog]

Una sfera conduttrice di raggio R1 con carica q è contenuta in un conduttore sferico cavo concentrico con la sfera stessa con raggio interno R2 ed esterno R3. Calcolare il campo e il potenziale in funzione della distanza dal centro dalla sfera .

Io ho provato a risolverlo così :
I campi da calcolare sono 4 : 1) r<R1, 2)R1<r<R2, 3) R2<r<R3, 4)r>R3. Nel terzo caso mi viene zero per definizione.
Poi gli altri 3 casi ho applicato il teorema di Gauss. $ phi (vec(E) ) = int E ds = Q/epsilon_0 $ . Quindi $ E*4pir^2= Q/epsilon_0 $ con Q carica interna. Quello che non mi è chiaro sono le cariche da utilizzare nei vari casi e sopratutto i raggi da usare. Per i raggi utilizzo semplicemente i vari raggi delle varie sfere o devo svolgere qualche integrale ?

[singularity]

Ciao TheDroog, ti stai un po' complicando la vita: il teorema di Gauss va benissimo in questo caso per calcolare $\vec(E)$, puoi usarlo per verificare il risultato raggiunto attraverso le seguenti considerazioni fisiche:

Avrai presente il fenomeno dell' induzione elettrostatica, quello che avviene quando la carica $q$ è depositata sulla sfera di raggio $R_1$ è che essa induce una carica $-q$ sulla superficie interna del guscio e, a sua volta, induce una carica $q$ sulla superifice esterna del guscio. Detto ciò facciamo le nostre valutazioni:

• $r < R_1$

siamo all'interno di un conduttore quindi $\vec(E)(\vec(r)) = 0$ (banale!);

• $R_1 < r < R_2$

siamo all'interno della prima cavità, sapendo che il contributo di un guscio uniformemente carico al campo elettrico al suo interno è nullo, ce ne freghiamo di ciò che accade aldilà di $R_2$ e , sapendo che il campo elettrico generato da un guscio uninformemente carico (o anche una sfera) al suo esterno è uguale a quello che produrrebbe tutta la carica del guscio concentrata nel suo centro, ci aspettiamo che il campo sarà:

$\vec(E)(\vec(r))= 1/(4 \pi \varepsilon_0) q/(r^2) \hat(r), \quad R_1<r<R_2$,

dove $\hat(r)$ è il versore radiale uscente;

• $R_2 < r < R_3$

siamo di nuovo all'interno di un conduttore, $vec(E)(\vec(r)) = 0$;

• $r> R_3$

per le stesse considerazioni fatte nel secondo punto, osservando che effettivamente la carica totale contenuta nel guscio è $q$ (basta sommare le cariche presenti sulle superifici di separazione: $q -q +q = q$), il campo sarà:

$\vec(E)(\vec(r))= 1/(4 \pi \varepsilon_0) q/(r^2) \hat(r), \quad r>R_3$.

sperio ti sia un po' più chiaro, fammi sapere se hai altri dubbi.

[mgrau]

Nel terzo caso mi viene zero per definizione.

E nel primo caso no?
E a quale definizione stai pensando?

Poi gli altri 3 casi ho applicato il teorema di Gauss. $ phi (vec(E) ) = int E ds = Q/epsilon_0 $ . Quindi $ E*4pir^2= Q/epsilon_0 $ con Q carica interna. Quello che non mi è chiaro sono le cariche da utilizzare nei vari casi e sopratutto i raggi da usare. Per i raggi utilizzo semplicemente i vari raggi delle varie sfere o devo svolgere qualche integrale ?

Potresti usarlo in TUTTI i casi.
Comunque, i raggi da usare sono semplicemente quelli richiesti: per es. nel caso 2, R1 < r < R2, il raggio è r. la carica interna è q.
Per il caso 3, il raggio è > R2 e < R3, la carica è q + (-q) (carica di polarizzazione sulla sfera R2), quindi zero.
Per il caso 4, r > R3, la carica è q + (-q) + q = q (la carica iniziale più le due cariche di polarizzazione), cioè è come se il guscio esterno non ci fosse.

@singularity Scusa, al solito non avevo visto

[singularity]

@mgrau

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Più siamo meglio è, no?

[TheDroog]

Grazie a entrambi della risposta. La definizione a cui mi riferivo è proprio quella dell'induzione elletrostatica citata da singularity. Quello che non riesco ancora a capire è da dove prendo i valori di quei raggi visto che sono raggi di superfici gaussiane che noi consideriamo per trovare i campi elettrici... Cioè intendo proprio a livello di valori numerici quando li vado a sostituire nella formula.

[singularity]

Il teorema di Gauss deve essere valido per qualsiasi superficie chiusa che contiene quella determinata carica, l'espressione:

$\vec(E)(\vec(r))= 1/(4 \pi \varepsilon_0) q/(r^2) \hat(r), \quad R_1<r<R_2$

vuol dire che, se il raggio è compreso tra $R_1$ ed $R_2$, devi usare questa formula qua.

[TheDroog]

Perfetto, mi è tutto chiaro. Grazie ancora !