Moto di rotolamento di un semianello

[ddr1995]

Ciao ragazzi,devo studiare il moto di rotolamento(CON strisciamento) di un semianello.
In particolare, devo calcolare la velocità angolare all'instante in cui il punto P tocca il suolo.
Vi allego l'immagine



La situazione iniziale quindi è quella a sinistra. CM è il centro di massa del semianello.
Allora io ho che si conserva l'energia meccanica,quindi ponendo il punto O come origine del sistema di riferimento cartesiano(asse y rivolto verso l'alto):

\(\displaystyle E= 0 \) energia meccanica iniziale
\(\displaystyle E= 1/2 I \omega^2 + Mg(-d) \) energia meccanica finale , dove d sarebbe la distanza tra O e il CM.
Ora però non ho capito rispetto a che asse calcolare il momento d'inerzia. Per il moto di puro rotolamento so che va preso l'asse passante per il punto di contatto con il suolo, ma in questo caso?
Grazie mille

[professorkappa]

Rispetto al CM.

[ddr1995]

Ciao e grazie per la risposta!
Controllando le soluzioni del prof ho letto che il momento d'inerzia è preso rispetto all'asse passante per il punto O, perché all'stante finale il moto è di pura rotazione intorno ad O. Perché?

[professorkappa]

Ogni volta che una soluzione non concorda con quella del professore bisogna alzare le antenne.
Il mio ragionamento e' questo:

Il sistema ha 2 gradi di liberta', poiche' non vi e' alcuna relazione che lega la velocita' angolare $omega$ e quella del baricentro $v_g$.
Pertanto abbiamo bisogno di 2 equazioni: la prima l'hai trovata con la conservazione dell'energia che va scritta, a regola:

$1/2mv_G^2+1/2I_Gomega^2-mgd=0$

Per la seconda equazione sfruttiamo la conservazione della quantita di moto, dal momento che in orizzontale non vi sono forze esterne, la componente orizzontale della $v_G$ si mantiene nulla, poiche' e' nulla all'inizio. Nella posizione finale, anche quella verticale e' nulla. In definitiva, sia all'inizio che alla fine, $v_G=0$. Quindi, sostituendo $v_G$ nell'eq. di conservazione dell'energia si ottiene:

$1/2I_Gomega^2-mgd=0$

Con $I_G$ Momento di inerzia rispetto al baricentro.

Attendo conferme o confutazioni dai "soliti noti" che sono di certo piu' svegli di me.

[ddr1995]

Grazie mille professorekarkappa,sei molto chiaro.
Il punto G sarebbe il CM del semianello,giusto?
Allora è possibile che il prof abbia considerato il moto di un anello e non di un semianello? In modo tale che il ragionamento è identico a quello tuo,con la differenza che il momento d'inerzia e la velocità del CM sono stati presi considerando il punto O come baricentro?( con la massa uguale a 2m)
Il risultato è uguale?

[Vulplasir]

Si, direi che la soluzione del prof. è sbagliata, il moto non è di puro rotolamento, e all'istante finale non è di pura rotazione attorno ad O, anzi, è di pura rotazione attorno a G, dato che all'istante finale G è fermo, il che porta alla soluzione di professorkappa.

p.s. se fosse stato un anello intero non si metteva a ruotare

[ddr1995]

Si, direi che la soluzione del prof. è sbagliata, il moto non è di puro rotolamento, e all'istante finale non è di pura rotazione attorno ad O, anzi, è di pura rotazione attorno a G, dato che all'istante finale G è fermo, il che porta alla soluzione di professorkappa.

p.s. se fosse stato un anello intero non si metteva a ruotare

Magari in quel tratto (visto che a me serve soltanto considerare il tratto in cui P ha quelle determinate posizioni), il semianello ruotava e poi ovviamente si fermava, però vabbè ho detto una cavolata
Comunque grazie ragazzi,adesso ho capito!

[Vulplasir]

Comunque, l'energia cinetica di un corpo rigido, dal teorema di koenig, si calcola come energia cinetica del centro di massa più energia cinetica "attorno" al centro di massa...nel dubbio, quando non sai dove considerare il momento di inerzia, prendilo sempre nel centro di massa e non sbagli mai, ma ovviamente ci devi aggiungere l'energia cinetica di traslazione del centro di massa, tutt gli altri casi sono casi speciali in cui un punto del corpo è fermo, in quel caso il moto del corpo è di pura rotazione attorno a quel punto e si può usare il momento di inerzia rispetto a quel punto (infatti il teorema di huygens-steiner e il teorema di koenig sono del tutto equivalenti)

[ddr1995]

perfetto!! Grazie mille!