Quanto valgono gli argomenti basati sulla simmetria?

[mgrau]

Tempo fa mi è capitato di spiegare ud uno studente come usare gli argomenti basati sulla simmetria: gli dicevo che, se un sistema possiede qualche simmetria, ovvero se è invariante per qualche tipo di trasformazione - per es. per rotazioni intorno ad un asse, riflessione su un piano, cambiamento di scala ecc - anche tutte le grandezze associate al sistema - per es. il campo elettrico generato e simili - devono possedere la stessa invarianza.
Ora però mi è venuto un dubbio: come interpretare quelle situazioni in cui nascono delle strutture nuove, non contenute nelle condizioni iniziali?
Un po' di esempi:
- un ramo che tocca con la punta una corrente d'acqua uniforme, può mettersi ad oscillare.
- se si scalda una pentola contenente dell'olio, si formano delle celle esagonali di convezione
- una materia diffusa uniformemente nello spazio si aggrega per gravità in tanti nuclei diversi
- un vento costante sopra una superficie liquida piana produce delle onde

Questi fatti distruggono, o limitano, la validità dei ragionamenti di simmetria?

[killing_buddha]

Sai che cos'è il teorema di Noether?

[mgrau]

Si, e allora?

[v3ct0r]

be' negli esempi che hai fatto la simmetria viene chiaramente rotta, ma questo non è dovuto alla nascita di nuove strutture, che è una conseguenza

semplicemente, hai introdotto un agente esterno (il vento, il fiume, la gravità) che individua una o più direzioni privilegiate

un altro esempio, molto semplice, è la forza peso che rompe la simmetria (locale) tra alto e basso, che altrimenti sarebbero equivalenti, oppure, a livelli un po' più avanzati, l'interazione debole che viola la parità e rompe la simmetria tra destra e sinistra

Questi fatti distruggono, o limitano, la validità dei ragionamenti di simmetria?

in generale, direi che la limitano

il punto è che parlare di simmetria del sistema é "sloppy", anche se lo fanno in molti (me compreso), perchè in realtà la simmetria é riferita ad una determinata grandezza o proprietà (un vettore, un campo, una lagrangiana, una funzione d'onda, etc.), oppure un'equazione, e non è detto che sia condivisa da tutte le grandezze associate al sistema

il teorema di Noether, ad esempio, si riferisce nello specifico alle simmetrie dell'azione

quindi, in generale, anche la rottura di simmetria riguarda solo certi aspetti del sistema e non altri

ad esempio, tornando alla violazione di parità, nell'esperimento di Wu c'è un mucchio di nuclei di cobalto che decade emettendo elettroni e fotoni, ma mentre l'emissione di elettroni (mediata dall'interazione debole) riflette la violazione, la distribuzione angolare dei fotoni (legata all'interazione elettromagnetica) non ne risente

questo perchè l'invarianza per parità riguarda essenzialmente le lagrangiane delle interazioni in gioco: la lagrangiana dell'elettrodinamica è simmetrica per parità, mentre quella dell'interazione debole non lo è

quindi, la violazione della simmetria per parità non riguarda il sistema globalmente, ma solo le interazioni deboli

[Vulplasir]

Quanto il due di briscola

[v3ct0r]

ma davvero?

e pensare che tutte le interazioni del modello standard sono descritte da teorie di gauge rinormalizzabili, e che la stessa massa delle particelle é generata da una rottura spontanea di simmetria

prova ad aprire un libro di fisica delle particelle, e poi ne riparliamo

[mgrau]

be' negli esempi che hai fatto la simmetria viene chiaramente rotta, ma questo non è dovuto alla nascita di nuove strutture, che è una conseguenza

semplicemente, hai introdotto un agente esterno (il vento, il fiume, la gravità) che individua una o più direzioni privilegiate

un altro esempio, molto semplice, è la forza peso che rompe la simmetria (locale) tra alto e basso, che altrimenti sarebbero equivalentii

Certo, gli agenti esterni riducono la simmetria. Però quel che risulta sembra ontenere di più di quel che ci abbiamo messo.
Per capirci, vediamo due esempi in dettaglio.
1 - campo elettrico generato da un piano carico infinito. In base a che cosa si dice che il modulo del campo non dipende dalla distanza dal piano? Si dice di solito che il sistema non include nessuna lunghezza intrinseca, o, alternativamente, che non viene modificato da un cambiamento di scala, ossia è invariante per dilatazione. Quindi, anche il campo prodotto deve avere questa caratteristica: l'espressione del campo non può contenere una lunghezza.
2 - vento uniforme su una superficie liquida infinita. Certo, c'è una direzione privilegiata. Ma certo non c'è nessuna lunghezza privilegiata, o intrinseca al sistema. Uno si aspetterebbe, che so, un trascinamento uniforme dell'acqua nella direzione del vento, insomma qualcosa che abbia una direzione ma niente più. Però il risultato è che si formano delle onde, che, loro sì, hanno una lunghezza intrinseca.
Chiaramente, uno si spiega la cosa se pensa che sono in gioco fenomeni di attrito fra aria e acqua, e chissà cos'altro ancora, per cui non è poi così strano quel che succede. La questione però è che, a priori, non sembrava che ci fossero lunghezze nascoste nel sistema, e allora, come si fa a sapere quando ci si può accontentare dell'apparenza - caso del piano carico - e quando no - vento sul mare?

[v3ct0r]

individuare le conseguenze di una simmetria (o della sua rottura) è una questione interessante, e il problema in generale è tutt'altro che banale

come dicevo rispondendo a vulplasir, c'è un sacco di fisica che poggia su questa roba

non sono sicuro di aver capito la tua ultima domanda, ma la differenza tra i due esempi è essenzialmente che nel primo caso la simmetria non è rotta, non c'è nessun agente a disturbare il sistema, mentre nel secondo lo è
ma di fatto, anche nel secondo caso, non ci sono lunghezze nascoste, o intrinseche al sistema, l'hai detto tu stesso, la lunghezza d'onda è una proprietà che il sistema acquisisce grazie al vento

il fatto che una direzione privilegiata generi una lunghezza d'onda, in effetti, non è affatto ovvio, e come hai già ossevato è dovuto al dettaglio dei meccanismi in gioco

ma questo è abbastanza comune nelle simmetrie

il meccanismo di Higgs, cui accennavo prima, è un esempio eclatante, oltre che molto istruttivo, perchè la rottura di simmetria dello stato del vuoto genera addirittura la massa delle particelle (o più precisamente, la richiesta di invarianza di gauge locale, unita alla rottura spontanea di simmetria, trasforma il termine di accoppiamento tra campo di Higgs e campi fermionici/bosonici in un termine di massa)

a prima vista, non c'è nessuna connessione tra le due cose (perchè la simmetria del vuoto dovrebbe essere legata alla massa delle particelle?), e infatti il modello gli è valso niente di meno che un Nobel