Un'asta omogenea di lunghezza $l = 1m$ e massa $m1 = 1 Kg$ è appesa al sotto nel punto $A$ e può oscillare senza attrito nel piano verticale. All'altro estremo dell'asta, $B$, è saldata una sfera di massa $m2 = 500 g$ e raggio $R = 10 cm$. Nel punto medio dell'asta, a distanza $l/2$ da $A$ e $B$, è collegata una molla ideale (massa nulla, costante elastica $k = 10 N/m$ e lunghezza a riposo $l$ uguale a quella dell'asta) che, all'altro estremo è fi ssata alla parete verticale. La distanza iniziale fra asta e parete verticale è $l$ ed il sistema è inizialmente in quiete. Ad un dato istante un proiettile puntiforme di massa $m3 = 10 g$ e velocità $v0$ orizzontale colpisce l'asta nel punto distante $3/4l$ dal soffitto e rimane confi ccato nell'asta.
Calcolare la velocità del proiettile $v0$ necessaria affinché la sfera raggiunga un'altezza pari a $l/2$ rispetto alla sua altezza iniziale. $(h2= l/2)$
Allora dato che è presente il vincolo in A le forze che agiscono sono la forza di gravità e la forza elastica, quindi possiamo scrivere un'energia potenziale del tipo:
\[ U=U_k+U_g =1/2k(\nabla x)^2 + g(m_1h_1 + m_2h_2 + m_3h_3) \]
a questo punto posso sfruttare la conservazione dell'energia meccanica ed avrò:
\[ U(h_2 =l/2) + 0 = 0 +E_k =1/2\omega^2\]
e fino a qui credo di aver capito... solo che i conti non tornano e nella soluzione dell'esercizio continua cosi:
\[\omega= sqrt{ (2U(h_2 =l/2))/I) } = (m_3v_03l)/(4I) \]
\[v_0=sqrt(2U(h_2 =l/2)/I) )4I/(m_3v_0 3l)\]
Questa quantità $(m_3v_0 3l)/(4I)$ cosa rappresenta e da dove la tira fuori? E perché nel calcolo di $v_0$ moltiplica per $(4I)/(m_3v_0 3l)$?
Ps: è il mio primo post.. scusate gli eventuali errori
