Connessione affine e derivata covariante

[GiulyDel]

Avrei bisogno del vostro aiuto per arrivare a dimostrare la legge di trasformazione per una connessione affine.
Dato un tensore X di rango 1 controvariante, si può osservare che facendone la derivata parziale compare un termine non lineare aggiuntivo che impedisce alla derivata di comportarsi come un tensore.
Dunque se si vuole differenziare un tensore in maniera tensoriale occorre introdurre sulla varietà un insieme di n^3 funzioni e definire così la derivata covariante. Quest'ultima si ottiene aggiungendo alla derivata parziale un nuovo termine (coefficienti di christoffel) che dipende linearmente dal vettore X. Questi coefficienti devono ovviamente trasformarsi in maniera tale da ripristinare la corretta legge di trasformazione tensoriale. Qualcuno potrebbe spiegarmi il procedimento e i passaggi completi per arrivare a dimostrare questa legge di trasformazione?? Grazie.

[Shackle]

Ciao, e benvenuta.
Se ho ben capito, stai cercando come si trasformano i simboli di Christoffel , che non sono dei tensori , in una trasformazione di coordinate ?
Conosci la derivata covariante di un tensore del primo ordine , il più semplice dei quali è un vettore controvariante $V^\alphae_\alpha$ ? Scrivi la derivata covariante rispetto a $x^\beta$ . come sai , la derivata covariante si trasforma in maniera tensoriale da un sistema di coordinate a un altro . Prendi quindi la derivata covariante prima calcolata , e applica la trasformazione tensoriale . Tien presente che nella derivata covariante ci sono due indici , per cui nella legge di trasformazione compaiono due derivate parziali del tipo $(\partial x^\alpha)/(\partial barx^\beta) $ .
Scritta la trasformazione tensoriale , isola al secondo membro il termine che contiene i simboli di Christoffel : poi è solo algebra.

Ti allego un procedimento un po' diverso, che prende le mosse direttamente dalla trasformazione dei coefficienti della metrica. Il libro è vecchio , i simboli di Chr di prima specie sono indicati con parentesi quadre : $ [mn,p]$ , quelli di 2º specie con parentesi graffe . Spero sia chiaro e sufficiente .

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[Luca.Lussardi]

E' lo Spain, vecchio si ma magistrale come spiegazioni.

[Shackle]

Perfetto, Luca : il vecchio Barry Spain !

Volevo precisare alla nostra iscritta questo, circa il primo procedimento suggerito, perchè penso di non essere stato molto chiaro.
La derivata covariante di $v = v^\alpha e_\alpha$ , dove $v^\alpha(x)$ sono le componenti del vettore nel sistema di coordinate $x$ in un certo punto, e ${e_\alpha}$ è una base locale in quelle coordinate , è espressa da :

$v^\alpha;_\beta = v^\alpha,_\beta + v^rhoGamma_(\rho\beta)^\alpha$

tutte le quantità sono espresse nelle coordinate $x^\alpha$ , incluso i simboli di Chr. Passando a coordinate $y^\mu (x^\alpha)$ , le quantità sono espresse nelle coordinate $y^\mu$ , perciò anche le derivate covarianti e i simboli di Chr lo sono .
Poiché la derivata covariante è tensoriale , devi considerarla come un tensore misto di ordine $2$ , e applicare la trasformazione relativa a questo tensore :

$v^\mu;_\nu (y) = v^\alpha;_\beta(x) (\partial y^\mu)/(\partialx^\alpha) *(\partial x^\beta)/(\partialy^\nu) $

sostituendo al primo e al secondo membro le derivate covarianti note nelle rispettive coordinate. Alla fine , si deve isolare il termine contenente il fattore $Gamma$ nelle nuove coordinate , e operando algebricamente arrivare all'espressione in funzione del vecchio $Gamma$ .

Non è un procedimento agevole, poiché ci sono molti indici in gioco . È senz'altro preferibile il metodo suggerito da Spain , per calcolare direttamente il nuovo $Gamma$ a partire dalla derivazione dei coefficienti della metrica.

[GiulyDel]

Grazie vi siete spiegati abbastanza chiaramente. Problema risolto

[Shackle]

Ho trovato una trattazione un po' diversa in un libro più moderno, lo Hobson .

In breve , la connessione affine , o simbolo di Christoffel $Gamma_(ac)^b $ si può intendere come la componente b-esima, rispetto ai vettori base ${e_b}$ , della derivata della componente a-esima del vettore base rispetto alla coordinata c-esima , ovvero :

$(\partiale_a)/(\partialx^c) = Gamma_(ac)^b e_b$
e quindi , mediante prodotto esterno con la base duale $e^d$ , tenendo presente che $e^d*e_b= \delta_b^d $ , si ha :

$ Gamma_(ac)^d = e^d (\partiale_a)/(\partialx^c) $

che è la $(3.15)$ seguente con indici cambiati come lecito . Si scrivono i $Gamma$ nel sistema con apice , e si scrivono le nuove basi $e^a'$ ed $e^b'$ in funzione delle vecchie , poi si procede con le derivate parziali .

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Da notare l'ultima uguaglianza, sottolineata dall'autore. Ciao.

[GiulyDel]

Ho provato ad eseguire il procedimento classico ma non mi trovo con il risultato riportato sul libro.

L'indice f relativo al termine contenente la derivata seconda risulta invertito con d.

[Shackle]

Non mi sembra, controlla bene. Quello che scrivi tu, cioè questo :



mi sembra identico a quello che dice qui :



salvo nomi diversi di alcuni indici saturi , il che è lecito, come sai .

stasera , forse, posterò il calcolo fatto alla stessa maniera , e cioè applicando la trasformazione di coordinate alla derivata covariante, considerandola come un tensore misto di tipo (1,1) .

Intanto, verifica da capo il tuo calcolo . In questi calcoli tensoriali , la cosa migliore è rifarli da capo .

[GiulyDel]

ok grazie. Mi faresti un favore, così controllo bene i calcoli.

[Shackle]

Consideriamo una trasformazione lineare di coordinate , da $x^\alpha$ a $y^\bar\mu$ , cioè , le nuove coordinate $y$ sono funzioni lineari delle vecchie $x$ :

$y^\bar\mu = y^\bar\mu(x^\alpha)$

Come vedi, segno gli indici delle nuove coordinate con una barra in testa, anziché con l'apice, per motivi di comprensione grafica . Dato un vettore $V = V^\alpha e_\alpha$ nelle vecchie coordinate , la sua derivata covariante è :

$ V^\alpha;_\beta = V^\alpha,_\beta + Gamma_(\rho\beta)^\alpha * V^\rho$

lo stesso vettore, espresso nelle nuove coordinate , è : $V = V^\bar\mu e_\bar\mu$

e quindi la sua derivata covariante nelle nuove coordinate vale :

$ V^\bar\mu;_\bar\nu = V^\bar\mu,_\bar\nu + Gamma_(bar\sigma\bar\nu)^\bar\mu * V^\bar\sigma$ .

Adesso, trattiamo la derivata covariante come un tensore misto di tipo $(1,1)$ . Perciò deve essere :

$ V^\bar\mu;_\bar\nu = V^\alpha;_\beta* (\del y^\bar\mu)/(delx^\alpha) * (delx^\beta)/(dely^\bar\nu) $

Adesso però continuo su un foglio scritto a mano , perché non è agevole scrivere questa roba al computer . E adotto anche una semplificazione, per risparmiare scrittura : anziché scrivere , ad esempio :

$ (\del y^\bar\mu)/(delx^\alpha)$

scriverò semplicemente : $(\del \bar\mu)/(del\alpha)$ , e analoghe . Si intende che la barra sopra l'indice indica che si sta derivando rispetto alla coordinata $y$ avente quell'indice. La mancanza della barra significa che si sta derivando rispetto alla coordinata $x$ avente quell'indice.

Ecco allora i fogli scritti a mano :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Come vedi, se la trasformazione dei $Gamma$ fosse tensoriale , ci sarebbe solo il primo termine a secondo membro , quello con la derivata seconda sarebbe nullo .

I tuoi calcoli sono giusti .