Il cerchio è omogeneo per ipotesi, quindi i momenti di inerzia di massa si ottengono calcolando quelli di area , e moltiplicando alla fine per la densità superficiale.
Evidentemente , $I_x = I_y$ per ragioni di simmetria . Tutti gli assi passanti per $G$ sono assi di simmetria .
Considera un'area elementare di una corona circolare, di raggio $r$ (variabile da $0$ a $R$ ) data da :
$dA = 2\pirdr $
Il suo momento di inerzia polare elementare, rispetto a $G$ , è dato da : $dI = 2\pir^3dr$ . Integrando da $0$ ad $R$ ottieni il momento polare del cerchio rispetto ad $G$ :
$I_G = piR^4/2$
come puoi verificare facilmente. Ma il cerchio è un sistema piano , e per i sistemi piani , dato un polo $O$ nel piano e una coppia di assi cartesiani ortogonali $(x,y)$ passanti per il polo $O$ , risulta : $I_O = I_x + I_y $
Inoltre, per la simmetria polare del cerchio si ha, nel riferimento prima detto con origine in $G$ ;
$piR^4/2 = I_G = I_x + I_y = 2 I_x$
da cui : $ I_x = piR^4/4 $ .
Questa formula vale per qualunque diametro.
Moltiplicando per la densità superficiale $lambda = M/A = M/ (piR^2$ , si ottiene il momento di inerzia di massa rispetto a un qualunque diametro :
$I_x = MR^2/4$ .
Simjap98 ha scritto:Provando, a me viene così:
$ I=\int_{-R}^{R} r^2 dm $ sapendo che la densità lineare $ \lambda = {dm}/{dA} \to dm=\lambda dA $ e sapendo che $ A=\pi r^2 \to dA=2 \pi dr $ quindi $ \int_{-R}^{R} r^2 dm = \int_{-R}^{R} 2 \pi \lambda dr = 2 \pi \lambda 2 \int_{0}^{R} r^2 dr $ che svolgendo i conti viene $ 2/3 M R^2 $
Dov'è che sbaglio?
Hai scritto l'area della corona circolare come : $dA = 2pidr $ , anziché $2pirdr$ .
E poi, devi integrare da $0$ ad $R$ , non da $-R$ a $+R$ .
