Momento di inerzia di un cilindro

Messaggioda Simjap98 » 11/11/2017, 13:27

Buongiorno a tutti!
Il professore di Fisica ha lasciato alla classe il compito di calcolare il momento di inerzia di un cilindro di lunghezza L e raggio R, che ruota attorno ad un asse ortogonale alla lunghezza e passante per il centro di massa. Il problema è che io essendo stato assente alla lezione non ho idea di come si possa calcolare il momento di inerzia di un corpo che non sia un disco.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
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Re: Momento di inerzia di un cilindro

Messaggioda Vulplasir » 11/11/2017, 13:47

Classe, compito...vai al liceo o all'università? Che vi danno i compiti per casa ora?
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Re: Momento di inerzia di un cilindro

Messaggioda singularity » 11/11/2017, 13:52

Ciao! Iniziare provando con la definizione di MI potrebbe essere un'idea, no?

Qual è la definizione di momento di inerzia rispetto a un asse di una distribuzione continua di massa?
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Re: Momento di inerzia di un cilindro

Messaggioda Simjap98 » 11/11/2017, 14:07

Vulplasir ha scritto:Classe, compito...vai al liceo o all'università? Che vi danno i compiti per casa ora?

Università, e sì, ci lasciano i compiti :-D
E comunque noi ci reputiamo una classe visto che gli iscritti in fisica sono esigui :oops:
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Re: Momento di inerzia di un cilindro

Messaggioda Simjap98 » 11/11/2017, 14:09

singularity ha scritto:Ciao! Iniziare provando con la definizione di MI potrebbe essere un'idea, no?

Qual è la definizione di momento di inerzia rispetto a un asse di una distribuzione continua di massa?


Il libro lo riporta come $\int h^2 dm$ ma non saprei cosa scegliere come $h^2$ e cosa scegliere come estremi di integrazione :(
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Re: Momento di inerzia di un cilindro

Messaggioda singularity » 11/11/2017, 14:20

Allora probabilmente devi cambiare libro...

Prova a dare un'occhiata qui, nella parte chiamata"Corpo rigido" lo calcola esplicitamente (rispetto all'asse del cilindro però!). Se avessi ancora dubbi posta pure qui e cerchiamo di fugarli :smt023
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Re: Momento di inerzia di un cilindro

Messaggioda mgrau » 11/11/2017, 14:43

Potresti pensare di affettare il cilindro perpendicolarmente all'asse, ottenendo tanti dischi.
Per un disco, di spessore infinitesimo, trovi il momento d'inerzia rispetto a un diametro, parallelo all'asse di rotazione del cilindro.
Dopo di che trasli il MI trovato alla distanza a cui si trova il disco utilizzando Huygens-Steiner, e integri sulla lunghezza del cilindro.
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Re: Momento di inerzia di un cilindro

Messaggioda Simjap98 » 12/11/2017, 14:28

mgrau ha scritto:Potresti pensare di affettare il cilindro perpendicolarmente all'asse, ottenendo tanti dischi.
Per un disco, di spessore infinitesimo, trovi il momento d'inerzia rispetto a un diametro, parallelo all'asse di rotazione del cilindro.

Potrei chiederti la cortesia di illustrarmi come si calcola il momento di inerzia da te indicato. Purtroppo ho alcune lacune sul calcolo infinitesimale, e non idea di come fare.
Per il resto ho capito, grazie :wink:
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Re: Momento di inerzia di un cilindro

Messaggioda mgrau » 12/11/2017, 21:03

Il momento d'inerzia di un disco di massa m e raggio R rispetto a un diametro è $1/4mR^2$. La massa è data dalla densità per il volume, cioè $m = rho pi R^2 dx$ se x è la direzione secondo l'asse, quindi $I = 1/4 rho pi R^4 dx$.
Questo va traslato ad una generica distanza x dal centro, con HS, e bisogna aggiungere $mR^2 = rho pi R^4 dx$.
In totale, $I = 5/4rho pi R^4 dx$
Se la lunghezza del cilindro è $L$, questo va integrato fra $-L/2$ e $L/2$
Poi puoi scrivere $rho = M/V = M/(piLR^2)$, metti tutto insieme... e spero di non aver scritto troppe cavolate
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Re: Momento di inerzia di un cilindro

Messaggioda Simjap98 » 18/11/2017, 20:35

mgrau ha scritto:Il momento d'inerzia di un disco di massa m e raggio R rispetto a un diametro è $1/4mR^2$.

Come si ottiene questo momento di inerzia?
Provando, a me viene così:
$I=\int_{-R}^{R} r^2 dm $ sapendo che la densità lineare $\lambda = {dm}/{dA} \to dm=\lambda dA$ e sapendo che $A=\pi r^2 \to dA=2 \pi dr$ quindi $\int_{-R}^{R} r^2 dm = \int_{-R}^{R} 2 \pi \lambda dr = 2 \pi \lambda 2 \int_{0}^{R} r^2 dr$ che svolgendo i conti viene $2/3 M R^2$
Dov'è che sbaglio?
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